Math
Перегони точності
Точність купується роботою, і курс обміну — не властивість методу. Чотири правила інтегрують одну функцію, і валюта — скільки разів функцію прочитано: перегони йдуть на графіку похибки проти кількості обчислень з лінією допуску, яку ставиш ти, після твого прогнозу переможця. На гладкій функції Гауссу вистачає восьми читань до машинної точності, а трапеціям треба шістдесят п'ять тисяч; додай у функцію один злам — і всі правила високого порядку скочуються в те саме повзання. А після десяти мільйонів доданків самі додавання втрачають шість знаків.
Що відбувається
Чотири способи проінтегрувати функцію, перегони в одній валюті: обчислення функції. На гладкій підінтегральній трапеції виграють два знаки при кожному поділі кроку навпіл, Сімпсон — чотири, Ромберг — більше з кожним рівнем, а Гаус перемагає вчисту: вісім точок до п’ятнадцяти знаків. Вставте злам — і перегони руйнуються: усі правила повзуть зі швидкістю трапецій, а Гаус, що припускає гладкість, не добирається ніколи. Зробіть функцію хвилястою — порядок знову змінюється. Спробуйте три підінтегральні й дивіться, хто перший сягає 1e−10 і якою ціною.
Рівняння модуля
Рівняння
трапеції: похибка ~ h², Сімпсон ~ h⁴, Ромберг ~ h^{2k}, Гаусс ~ e^{−cn} (гладка f)
вартість = кількість обчислень f, а не кроків
e^x на [0,1], 9 обчислень: 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4|: кожне правило ~ h², Гаусс не краще
