Math
Гонка точности
Точность покупается работой, и курс обмена — не свойство метода. Четыре правила интегрируют одну функцию, и валюта — сколько раз функцию прочли: гонка идёт на графике ошибки против числа вычислений с линией допуска, которую ставишь ты, после твоего прогноза победителя. На гладкой функции Гауссу хватает восьми чтений до машинной точности, а трапециям нужно шестьдесят пять тысяч; добавь в функцию один излом — и все правила высокого порядка сваливаются в одно и то же ползание. А после десяти миллионов слагаемых сами сложения теряют шесть знаков.
Что происходит
Четыре способа проинтегрировать функцию, гонка в одной валюте: вычисления функции. На гладкой подынтегральной трапеции выигрывают два знака при каждом делении шага пополам, Симпсон — четыре, Ромберг — больше с каждым уровнем, а Гаусс побеждает вчистую: восемь точек до пятнадцати знаков. Вставьте излом — и гонка рушится: все правила ползут со скоростью трапеций, а Гаусс, предполагающий гладкость, не добирается никогда. Сделайте функцию волнистой — порядок снова меняется. Попробуйте три подынтегральных и смотрите, кто первым достигает 1e−10 и какой ценой.
Уравнения модуля
Уравнения
трапеции: ошибка ~ h², Симпсон ~ h⁴, Ромберг ~ h^{2k}, Гаусс ~ e^{−cn} (гладкая f)
стоимость = число вычислений f, а не шагов
e^x на [0,1], 9 вычислений: 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4|: любое правило ~ h², Гаусс не лучше
