Math
La carrera de la precisión
La precisión se compra con trabajo, y el tipo de cambio no es una propiedad del método. Cuatro reglas integran la misma función y la moneda es cuántas veces se lee la función: la carrera se corre sobre un gráfico del error frente a las evaluaciones, con una línea de tolerancia que pones tú, después de predecir el ganador. En una función suave, Gauss llega a la precisión de máquina con ocho lecturas mientras la regla del trapecio necesita sesenta y cinco mil; pon un solo pico en la función y todas las reglas de orden alto caen en el mismo avance lento. Y pasados diez millones de términos, las propias sumas pierden seis cifras.
Qué ocurre
Cuatro maneras de integrar una función, compitiendo con una sola moneda: evaluaciones de la función. Con un integrando suave el trapecio gana dos cifras cada vez que el paso se divide por dos, Simpson cuatro, Romberg más con cada nivel, y Gauss gana de calle: ocho puntos para quince cifras. Pon un pico en el integrando y la carrera se hunde: todas las reglas avanzan al paso del trapecio y Gauss, que supone suavidad, nunca llega. Hazlo ondulado y el orden vuelve a cambiar. Prueba los tres integrandos y mira quién llega primero a 1e-10 y a qué coste.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones
trapecio: error ~ h², Simpson ~ h⁴, Romberg ~ h^{2k}, Gauss ~ e^{−cn} (f suave)
coste = evaluaciones de f, no pasos
e^x en [0,1], 9 evaluaciones: 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4|: todas las reglas ~ h², Gauss no mejora
