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Das Präzisionsrennen

Genauigkeit wird mit Arbeit bezahlt, und der Wechselkurs ist keine Eigenschaft des Verfahrens. Vier Regeln integrieren dieselbe Funktion, und die Währung ist, wie oft die Funktion gelesen wird: Das Rennen läuft auf einem Diagramm des Fehlers gegen die Auswertungen mit einer Toleranzlinie, die du setzt, nachdem du den Sieger vorhergesagt hast. Auf einer glatten Funktion erreicht Gauß mit acht Lesungen die Maschinengenauigkeit, die Trapezregel braucht fünfundsechzigtausend; ein einziger Knick in der Funktion, und jede Regel hoher Ordnung fällt in dasselbe Kriechen. Und nach zehn Millionen Termen verlieren die Additionen selbst sechs Stellen.

Von Mykhailo Makarov

Bild aus der Anwendung

Was passiert

Vier Wege, eine Funktion zu integrieren, im Rennen um eine Währung: Auswertungen der Funktion. Bei glattem Integranden gewinnt die Trapezregel zwei Stellen mit jeder Halbierung des Schritts, Simpson vier, Romberg mehr mit jeder Stufe, und Gauß siegt klar - acht Punkte für fünfzehn Stellen. Setze einen Knick in den Integranden, und das Rennen bricht zusammen: jede Regel kriecht im Trapeztempo, und Gauß, der Glattheit voraussetzt, kommt nie an. Mache ihn wellig, und die Ordnung kippt wieder. Probiere die drei Integranden und sieh, wer 1e-10 zuerst erreicht und zu welchem Preis.

Gleichungen des Moduls

Gleichungen
Trapezregel: Fehler ~ h², Simpson ~ h⁴, Romberg ~ h^{2k}, Gauß ~ e^{−cn} (glattes f)
Aufwand = Funktionsauswertungen von f, nicht Schritte
e^x auf [0,1], 9 Auswertungen: 2e−3 / 2e−6 / 3e−10 / 1e−15
|x − 0.4|: jede Regel ~ h², Gauß nicht besser

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