Math
Почему появляется колокол
Сложи розыгрыши из любой формы — кубик, кривую монету, два горба, длинный хвост времени ожидания — и стандартизованная сумма превратится в один и тот же колокол. Одна выборка собирается на глазах и становится одной точкой серии рядом; сумма, среднее и стандартизованная сумма — три имени этой точки. Кумулянты суммы складываются, поэтому асимметрия падает как 1/√n, а эксцесс — как 1/n, и лист измеряет оба. И один источник всё ломает: у Коши нет дисперсии, и колокол не появляется никогда.
Что происходит
Сложите много малых независимых кусочков — сумма ляжет на один и тот же колокол, какими бы кусочки ни были: это центральная предельная теорема, и модуль показывает, как она происходит, и измеряет, как быстро. Асимметрия суммы убывает как 1/√n, эксцесс — как 1/n: сумма монеты колоколообразна уже к дюжине бросков, косому хвосту экспоненты нужно куда больше. Точное распределение суммы строится свёрткой и сравнивается с выборочным и с нормальным. Выберите источник, поднимайте n и смотрите, как гистограмма выправляется, а расстояние Колмогорова падает.
Уравнения модуля
Уравнения
Z = (X₁ + … + X_n − nμ) / (σ√n)
κ_k(Z) = κ_k(X) / (σ^k n^{k/2−1}): асимметрия ∝ 1/√n, эксцесс ∝ 1/n
равномерное: γ₂ = −6/5; экспоненциальное: γ₁ = 2, γ₂ = 6
расстояние Колмогорова до нормального, точное распределение свёрткой
