Math
Dlaczego pojawia się dzwon
Dodawaj losowania z dowolnego kształtu - kostkę, fałszywą monetę, dwa garby, długi ogon czasu oczekiwania - a standaryzowana suma zmieni się w ten sam dzwon. Jedna próbka zbiera się na oczach i staje się jednym punktem serii obok; suma, średnia i standaryzowana suma to trzy nazwy tego punktu. Kumulanty sumy się dodają, więc skośność maleje jak 1/√n, a kurtoza nadwyżkowa jak 1/n, i arkusz mierzy obie. Jedno źródło wszystko psuje: rozkład Cauchy'ego nie ma wariancji i dzwon nigdy się nie pojawia.
Co się dzieje
Dodaj wiele małych niezależnych kawałków, a suma legnie na tej samej krzywej dzwonowej, czymkolwiek były kawałki - to centralne twierdzenie graniczne, a moduł pokazuje, jak się dzieje, i mierzy, jak szybko. Skośność sumy ginie jak 1/√n, kurtoza jak 1/n: suma monety jest dzwonowata już po tuzinie rzutów, krzywy ogon rozkładu wykładniczego potrzebuje o wiele więcej. Dokładny rozkład sumy buduje się splotem i porównuje z próbkowanym i z normalnym. Wybierz źródło, zwiększaj n i patrz, jak histogram się prostuje, a odległość Kołmogorowa maleje.
Równania modułu
Równania
Z = (X₁ + … + X_n − nμ) / (σ√n)
κ_k(Z) = κ_k(X) / (σ^k n^{k/2−1}): skośność ∝ 1/√n, eksces ∝ 1/n
jednostajny: γ₂ = −6/5; wykładniczy: γ₁ = 2, γ₂ = 6
odległość Kołmogorowa od rozkładu normalnego, dokładna funkcja prawdopodobieństwa obliczona splotem
