Math

Pourquoi la cloche apparaît

Additionne des tirages de n'importe quelle forme - un dé, une pièce truquée, deux bosses, la longue queue d'un temps d'attente - et la somme centrée réduite devient la même cloche. Un échantillon est constitué sous tes yeux et devient un point de la série à côté ; la somme, la moyenne et la somme centrée réduite sont trois noms de ce point. Les cumulants d'une somme s'additionnent, donc l'asymétrie décroît en 1/√n et l'excès de kurtosis en 1/n, et la feuille mesure les deux. Et une source casse tout : une Cauchy n'a pas de variance, et aucune cloche n'apparaît jamais.

Par Mykhailo Makarov

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Ce qui se passe

Additionnez beaucoup de petits morceaux indépendants et la somme tombe sur la même courbe en cloche, quels que soient les morceaux - c'est le théorème central limite, et ce module le montre à l'œuvre et mesure sa vitesse. L'asymétrie de la somme meurt en 1/√n, l'aplatissement en 1/n : la somme d'une pièce est en cloche dès une douzaine de lancers, la queue de travers d'une exponentielle en demande bien plus. La loi exacte de la somme est construite par convolution et comparée à une loi échantillonnée et à la normale. Choisissez une source, montez n et regardez l'histogramme se redresser tandis que la distance de Kolmogorov tombe.

Équations du module

Équations
Z = (X₁ + … + X_n − nμ) / (σ√n)
κ_k(Z) = κ_k(X) / (σ^k n^{k/2−1}) :  asymétrie ∝ 1/√n, excès d'aplatissement ∝ 1/n
uniforme : γ₂ = −6/5 ;  exponentielle : γ₁ = 2, γ₂ = 6
distance de Kolmogorov à la loi normale, fonction de masse exacte par convolution

Autres expériences

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La moyenne se pose, le compte non

Une chaîne qu'on peut lire - résultat, somme, moyenne - et deux graphiques sur un même axe log n avec un seul curseur : l'écart de la moyenne entre dans un entonnoir de ±2σ/√n, tandis que l'excédent S_n − nμ croît comme √n et ne se pose jamais. Prédis d'abord si l'excédent tend aussi vers zéro, puis laisse la série grandir ; six autres séries dans les mêmes conditions sont à côté. Une série forcée est oubliée par la moyenne et gardée par le compte ; pour la pièce les nombres sont exacts par la binomiale ; et une source de Cauchy, sans moyenne, ne se pose jamais.

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Quatre-vingt-quinze fois sur cent

Examiner les observations d’un intervalle de confiance. Répéter l’expérience et comparer couverture et largeur des méthodes sur les mêmes échantillons.

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La valeur p, et comment se tromper avec

Deux mille expériences demandent si une moyenne est nulle ; la part qui rejette à α = 0,05 est comptée. Sans effet c'est 5 % - le taux d'erreur de première espèce - et les valeurs p sont uniformes. Avec un effet c'est la puissance, qui monte avec l'effet et avec n : un demi-σ est trouvé 32 % du temps avec dix observations et 82 % avec trente-quatre. Regarde les données toutes les cinq observations et arrête dès que p passe sous 0,05, et le taux de faux positifs est d'un quart. Tout est compté ; la courbe de Student vient du code.