Math
Чому з'являється дзвін
Додай розіграші з будь-якої форми — кубик, криву монету, два горби, довгий хвіст часу очікування — і стандартизована сума перетвориться на той самий дзвін. Одна вибірка збирається на очах і стає однією точкою серії поруч; сума, середнє й стандартизована сума — три імені цієї точки. Кумулянти суми додаються, тож асиметрія спадає як 1/√n, а ексцес — як 1/n, і аркуш вимірює обидва. І одне джерело все ламає: у Коші немає дисперсії, і дзвін не з'являється ніколи.
Що відбувається
Складіть багато малих незалежних шматочків — сума ляже на той самий дзвін, якими б шматочки не були: це центральна гранична теорема, і модуль показує, як вона відбувається, і вимірює, як швидко. Асиметрія суми спадає як 1/√n, ексцес — як 1/n: сума монети дзвоноподібна вже до дюжини кидків, косому хвосту експоненти потрібно набагато більше. Точний розподіл суми будується згорткою і порівнюється з вибірковим і з нормальним. Оберіть джерело, піднімайте n і дивіться, як гістограма вирівнюється, а відстань Колмогорова падає.
Рівняння модуля
Рівняння
Z = (X₁ + … + X_n − nμ) / (σ√n)
κ_k(Z) = κ_k(X) / (σ^k n^{k/2−1}): асиметрія ∝ 1/√n, ексцес ∝ 1/n
рівномірний: γ₂ = −6/5; показниковий: γ₁ = 2, γ₂ = 6
відстань Колмогорова до нормального розподілу, точна функція ймовірностей, обчислена згорткою
