Math

Lunghezza e area non sono l'aspetto di una forma

Un'approssimazione può aderire a una curva quanto si vuole e avere la lunghezza sbagliata: una scala che converge a una diagonale è più lunga del 41 % a ogni raffinamento, per sempre. Una dimensione più su è peggio. La lanterna di Schwarz ha ogni vertice su un cilindro e triangoli piccoli quanto si vuole, e la sua area totale tende ai veri 2π, a cinque volte tanto, oppure all'infinito - a seconda soltanto di come i suoi due raffinamenti si rincorrono. A decidere non è la dimensione dei pezzi ma la loro inclinazione, e il pannello la misura.

Di Mykhailo Makarov

Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

La lunghezza di una curva è il limite dei poligoni inscritti - per il cerchio funziona, e ogni raddoppio dei lati divide il deficit per quattro. Ma una scala disegnata sempre più fine lungo una diagonale tiene la lunghezza 2 mentre si stringe a una diagonale di lunghezza √2: il poligono deve avere lati corti E angoli piccoli. L'area è peggio. La lanterna di Schwarz inscrive triangoli in un cilindro, e a seconda di come la raffini l'area totale converge a quella del cilindro, a qualcosa di maggiore o all'infinito - i triangoli si piegano come una lanterna di carta. Raffina la lanterna con entrambe le manopole e guarda dove va l'area.

Equazioni del modulo

Equazioni
n-agono inscritto: L = 2nR sin(π/n) → 2πR, scarto ~ π³R/3n²
scala a gradini verso una diagonale: lunghezza 2 per ogni n, benché la distanza → 0
lanterna di Schwarz, m anelli × n settori: A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²)
m = n: A → 2πRH;  m = n³: A → ∞

Altri esperimenti

Torna al catalogo

Math

La corsa alla precisione

La precisione si compra con il lavoro, e il tasso di cambio non è una proprietà del metodo. Quattro regole integrano la stessa funzione e la moneta è quante volte la funzione viene letta: la gara si corre su un grafico dell'errore contro le valutazioni, con una linea di tolleranza che fissi tu, dopo aver previsto il vincitore. Su una funzione liscia Gauss raggiunge la precisione di macchina con otto letture, mentre la regola dei trapezi ne chiede sessantacinquemila; metti un solo spigolo nella funzione e tutte le regole di ordine alto ricadono nella stessa lentezza. E oltre dieci milioni di termini le addizioni stesse perdono sei cifre.

Math

Gruppi di carta da parati e Penrose

I diciassette gruppi di carta da parati, ciascuno costruito da uno o due generatori e applicato a un motivo che trascini; le copie riflesse in un secondo colore, per distinguere a occhio rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. L'ordine del gruppo, le sue rotazioni e i suoi specchi letti dagli elementi, non dal nome. E il diciottesimo motivo - i rombi di Penrose - con il conto dei grossi e dei sottili che cammina verso la sezione aurea.

Math

Perché appare la campana

Somma estrazioni da qualsiasi forma (un dado, una moneta truccata, due gobbe, la lunga coda di un tempo d'attesa) e la somma standardizzata diventa la stessa campana. Un campione si raccoglie sotto i tuoi occhi e diventa un punto della serie accanto; somma, media e somma standardizzata sono tre nomi di quel punto. I cumulanti di una somma si sommano, quindi l'asimmetria cala come 1/√n e la curtosi in eccesso come 1/n, e il foglio misura entrambe. E una sorgente rompe tutto: una Cauchy non ha varianza e la campana non arriva mai.