Math
Länge und Fläche sind nicht das, wonach eine Form aussieht
Eine Näherung kann sich einer Kurve beliebig eng anschmiegen und dennoch die falsche Länge haben: eine Treppe, die gegen eine Diagonale konvergiert, ist bei jeder Verfeinerung 41 % zu lang, für immer. Eine Dimension höher ist es schlimmer. Schwarz' Laterne hat jeden Eckpunkt auf einem Zylinder und beliebig kleine Dreiecke, und ihre Gesamtfläche strebt gegen die wahren 2π, gegen das Fünffache davon oder gegen unendlich - je nachdem, wie ihre beiden Verfeinerungen um die Wette laufen. Entscheidend ist nicht die Größe der Stücke, sondern ihre Neigung, und die Leiste misst sie.
Was passiert
Die Länge einer Kurve ist der Grenzwert einbeschriebener Polygone - beim Kreis geht das, und jede Verdopplung der Seiten viertelt das Defizit. Aber eine immer feiner entlang einer Diagonale gezeichnete Treppe behält die Länge 2, während sie sich an eine Diagonale der Länge √2 schmiegt: das Polygon braucht kurze Seiten UND kleine Winkel. Bei der Fläche ist es schlimmer. Schwarz' Laterne beschreibt einem Zylinder Dreiecke ein, und je nach Verfeinerung konvergiert die Gesamtfläche gegen die des Zylinders, gegen etwas Größeres oder gegen unendlich - die Dreiecke falten sich wie eine Papierlaterne. Verfeinere die Laterne an beiden Knöpfen und sieh, wohin die Fläche geht.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen einbeschriebenes n-Eck: L = 2nR sin(π/n) → 2πR, Fehlbetrag ~ π³R/3n² Treppe zu einer Diagonale: Länge 2 für jedes n, obwohl der Abstand → 0 geht Schwarzsche Laterne, m Ringe × n Sektoren: A = 2mnR sin(π/n) √((H/m)² + R²(1 − cos π/n)²) m = n: A → 2πRH; m = n³: A → ∞
