Math

Biliardo matematico

Un punto rimbalza per sempre dentro una parete con angoli uguali. Nel cerchio l'angolo non cambia mai: la traiettoria evita un cerchio più piccolo in cui non può entrare, e una rotazione razionale si chiude in un poligono. Nello stadio - due semicerchi uniti da pareti diritte - non si conserva nulla tranne la velocità, e due traiettorie partite a un miliardesimo di grado l'una dall'altra distano una larghezza di tavolo dopo venti rimbalzi. Il pannello lo misura: la separazione viene interpolata con un'esponenziale E con una retta.

Di Mykhailo Makarov

Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Un punto dentro una parete chiusa, che rimbalza per sempre con angoli uguali e senza perdere velocità - tutto il resto viene dalla forma della parete. In un cerchio l'angolo con la parete si conserva, così la traiettoria resta fuori da un cerchio minore, la caustica, e si chiude in un poligono quando la rotazione è una frazione razionale di giro. In un'ellisse si conserva un'altra quantità, e una palla per un fuoco passa per l'altro per sempre. Taglia il cerchio a metà e allontana le metà - lo stadio di Bunimovich - e due traiettorie a un miliardesimo si separano di un fattore e a ogni rimbalzo. Prova le tre pareti, guarda la caustica, poi leggi la separazione che il pannello misura.

Equazioni del modulo

Equazioni
v' = v − 2(v·n)n,  |v| si conserva
cerchio: angolo con la parete costante, raggio della caustica R cos α
ellisse: J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² si conserva
stadio: separazione di due traiettorie ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 per rimbalzo

Altri esperimenti

Torna al catalogo

Math

Perché una traiettoria calcolata mente

Un calcolatore non può seguire una traiettoria; può solo fare passi. Dimezzare il passo divide l'errore per due, quattro o sedici a seconda del metodo - finché i passi non sono così tanti che l'arrotondamento prevale e un passo più piccolo rende la risposta PEGGIORE. Su un'orbita il più accurato dei quattro metodi perde comunque energia in linea retta mentre uno meno accurato si limita a oscillare per sempre: accuratezza e rispetto per un invariante sono virtù diverse. E in un sistema caotico la traiettoria è perduta con qualunque metodo: sopravvive l'attrattore.

Math

Lunghezza e area non sono l'aspetto di una forma

Un'approssimazione può aderire a una curva quanto si vuole e avere la lunghezza sbagliata: una scala che converge a una diagonale è più lunga del 41 % a ogni raffinamento, per sempre. Una dimensione più su è peggio. La lanterna di Schwarz ha ogni vertice su un cilindro e triangoli piccoli quanto si vuole, e la sua area totale tende ai veri 2π, a cinque volte tanto, oppure all'infinito - a seconda soltanto di come i suoi due raffinamenti si rincorrono. A decidere non è la dimensione dei pezzi ma la loro inclinazione, e il pannello la misura.

Math

La corsa alla precisione

La precisione si compra con il lavoro, e il tasso di cambio non è una proprietà del metodo. Quattro regole integrano la stessa funzione e la moneta è quante volte la funzione viene letta: la gara si corre su un grafico dell'errore contro le valutazioni, con una linea di tolleranza che fissi tu, dopo aver previsto il vincitore. Su una funzione liscia Gauss raggiunge la precisione di macchina con otto letture, mentre la regola dei trapezi ne chiede sessantacinquemila; metti un solo spigolo nella funzione e tutte le regole di ordine alto ricadono nella stessa lentezza. E oltre dieci milioni di termini le addizioni stesse perdono sei cifre.