Math

Perché una traiettoria calcolata mente

Un calcolatore non può seguire una traiettoria; può solo fare passi. Dimezzare il passo divide l'errore per due, quattro o sedici a seconda del metodo - finché i passi non sono così tanti che l'arrotondamento prevale e un passo più piccolo rende la risposta PEGGIORE. Su un'orbita il più accurato dei quattro metodi perde comunque energia in linea retta mentre uno meno accurato si limita a oscillare per sempre: accuratezza e rispetto per un invariante sono virtù diverse. E in un sistema caotico la traiettoria è perduta con qualunque metodo: sopravvive l'attrattore.

Di Mykhailo Makarov

Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Un computer non può seguire una traiettoria; può fare un passo, guardare le forze dove è arrivato e farne un altro. Tutto ciò che va storto dopo viene da lì. Il passo di Eulero fa spiralare un oscillatore verso l'esterno, guadagnando energia a cui non ha diritto; scambia l'ordine di due righe e lo stesso metodo del primo ordine tiene l'energia limitata per sempre - questo vuol dire simplettico. Verlet è del secondo ordine e simplettico, l'integratore dei pianeti; Runge-Kutta 4 è molto più preciso per passo e deriva comunque, lentamente. Dimezza il passo e leggi l'ordine misurato; poi lancia l'attrattore di Lorenz e guarda due metodi separarsi nello stesso istante.

Equazioni del modulo

Equazioni
Eulero: y' = y + h f(y), ordine 1, l'energia deriva
Eulero simplettico: q' = q + hv, v' = v + h a(q'), ordine 1, energia limitata
Verlet delle velocità: ordine 2, simplettico
Runge-Kutta 4: ordine 4, l'energia deriva lentamente

Altri esperimenti

Torna al catalogo

Math

Lunghezza e area non sono l'aspetto di una forma

Un'approssimazione può aderire a una curva quanto si vuole e avere la lunghezza sbagliata: una scala che converge a una diagonale è più lunga del 41 % a ogni raffinamento, per sempre. Una dimensione più su è peggio. La lanterna di Schwarz ha ogni vertice su un cilindro e triangoli piccoli quanto si vuole, e la sua area totale tende ai veri 2π, a cinque volte tanto, oppure all'infinito - a seconda soltanto di come i suoi due raffinamenti si rincorrono. A decidere non è la dimensione dei pezzi ma la loro inclinazione, e il pannello la misura.

Math

La corsa alla precisione

La precisione si compra con il lavoro, e il tasso di cambio non è una proprietà del metodo. Quattro regole integrano la stessa funzione e la moneta è quante volte la funzione viene letta: la gara si corre su un grafico dell'errore contro le valutazioni, con una linea di tolleranza che fissi tu, dopo aver previsto il vincitore. Su una funzione liscia Gauss raggiunge la precisione di macchina con otto letture, mentre la regola dei trapezi ne chiede sessantacinquemila; metti un solo spigolo nella funzione e tutte le regole di ordine alto ricadono nella stessa lentezza. E oltre dieci milioni di termini le addizioni stesse perdono sei cifre.

Math

Gruppi di carta da parati e Penrose

I diciassette gruppi di carta da parati, ciascuno costruito da uno o due generatori e applicato a un motivo che trascini; le copie riflesse in un secondo colore, per distinguere a occhio rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. L'ordine del gruppo, le sue rotazioni e i suoi specchi letti dagli elementi, non dal nome. E il diciottesimo motivo - i rombi di Penrose - con il conto dei grossi e dei sottili che cammina verso la sezione aurea.