Math
Pourquoi une trajectoire calculée ment
Un ordinateur ne peut pas suivre une trajectoire ; il ne peut que faire des pas. Diviser le pas par deux divise l'erreur par deux, quatre ou seize selon la méthode - jusqu'à ce que tant de pas accumulent l'arrondi qu'un pas plus petit rende la réponse PIRE. Sur une orbite, la plus précise des quatre méthodes perd tout de même de l'énergie en ligne droite tandis qu'une moins précise ne fait qu'osciller sans fin : la précision et le respect d'un invariant sont deux vertus différentes. Et dans un système chaotique la trajectoire est perdue quelle que soit la méthode : ce qui survit est l'attracteur.
Ce qui se passe
Un ordinateur ne peut pas suivre une trajectoire ; il peut faire un pas, regarder les forces là où il est tombé, et en faire un autre. Tout ce qui tourne mal ensuite vient de là. Le pas d'Euler fait spiraler un oscillateur vers l'extérieur, gagnant une énergie qu'il n'a pas le droit d'avoir ; permutez deux lignes et la même méthode d'ordre un garde l'énergie bornée à jamais - c'est cela, symplectique. Verlet est d'ordre deux et symplectique, l'intégrateur des planètes ; Runge-Kutta 4 est bien plus précis par pas et dérive quand même, lentement. Divisez le pas par deux et lisez l'ordre mesuré ; puis lancez l'attracteur de Lorenz et regardez deux méthodes se séparer au même instant.
Équations du module
Équations Euler : y' = y + h f(y), ordre 1, l'énergie dérive Euler symplectique : q' = q + hv, v' = v + h a(q'), ordre 1, énergie bornée Verlet vitesse : ordre 2, symplectique Runge-Kutta 4 : ordre 4, l'énergie dérive lentement
