Math

Por qué miente una trayectoria calculada

Un ordenador no puede seguir una trayectoria; solo puede dar pasos. Reducir el paso a la mitad divide el error entre dos, cuatro o dieciséis según el método, hasta que los pasos son tantos que el redondeo pesa más y un paso menor empeora la respuesta. En una órbita, el más preciso de los cuatro métodos pierde energía en línea recta mientras que uno menos preciso solo oscila para siempre: la precisión y el respeto por un invariante son virtudes distintas. Y en un sistema caótico la trayectoria está perdida con cualquier método: lo que sobrevive es el atractor.

Por Mykhailo Makarov

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Qué ocurre

Un ordenador no puede seguir una trayectoria; puede dar un paso, mirar las fuerzas donde cayó y dar otro. Todo lo que sale mal después viene de ahí. El paso de Euler hace que un oscilador se espiralice hacia fuera, ganando energía a la que no tiene derecho; intercambia el orden de dos líneas y el mismo método de primer orden mantiene la energía acotada para siempre: eso significa simpléctico. Verlet es de segundo orden y simpléctico, el integrador de los planetas; Runge-Kutta 4 es mucho más preciso por paso y aun así deriva, despacio. Divide el paso por dos y lee el orden medido; luego corre el atractor de Lorenz y mira dos métodos separarse en el mismo instante.

Ecuaciones del módulo

Ecuaciones
Euler: y' = y + h f(y), orden 1, la energía deriva
Euler simpléctico: q' = q + hv, v' = v + h a(q'), orden 1, energía acotada
Verlet de velocidades: orden 2, simpléctico
Runge-Kutta 4: orden 4, la energía deriva lentamente

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