Math

Warum eine berechnete Bahn lügt

Ein Rechner kann keiner Bahn folgen; er kann nur Schritte machen. Den Schritt zu halbieren teilt den Fehler je nach Verfahren durch zwei, vier oder sechzehn - bis so viele Schritte anfallen, dass die Rundung überwiegt und ein kleinerer Schritt die Antwort SCHLECHTER macht. Auf einer Bahn verliert das genaueste der vier Verfahren dennoch geradlinig Energie, während ein ungenaueres bloß ewig schwankt: Genauigkeit und Achtung vor einer Erhaltungsgröße sind verschiedene Tugenden. Und in einem chaotischen System ist der Weg verloren, ganz gleich mit welchem Verfahren: es überlebt der Attraktor, nicht die Bahn.

Von Mykhailo Makarov

Bild aus der Anwendung

Was passiert

Ein Computer kann einer Bahn nicht folgen; er kann einen Schritt tun, die Kräfte dort ansehen, wo er gelandet ist, und den nächsten tun. Alles, was danach schiefgeht, kommt daher. Eulers Schritt spiralt einen Oszillator nach außen und gewinnt Energie, die ihm nicht zusteht; vertausche zwei Zeilen, und dieselbe Methode erster Ordnung hält die Energie für immer beschränkt - das heißt symplektisch. Verlet ist zweiter Ordnung und symplektisch, der Integrator der Planeten; Runge-Kutta 4 ist pro Schritt weit genauer und driftet dennoch, langsam. Halbiere den Schritt und lies die gemessene Ordnung; dann lass den Lorenz-Attraktor laufen und sieh zwei Methoden zur gleichen Zeit auseinandergehen.

Gleichungen des Moduls

Gleichungen
Euler: y' = y + h f(y), Ordnung 1, die Energie driftet
symplektisches Euler-Verfahren: q' = q + hv, v' = v + h a(q'), Ordnung 1, Energie beschränkt
Geschwindigkeits-Verlet-Verfahren: Ordnung 2, symplektisch
Runge-Kutta 4: Ordnung 4, die Energie driftet langsam

Weitere Experimente

Zum Katalog

Math

Länge und Fläche sind nicht das, wonach eine Form aussieht

Eine Näherung kann sich einer Kurve beliebig eng anschmiegen und dennoch die falsche Länge haben: eine Treppe, die gegen eine Diagonale konvergiert, ist bei jeder Verfeinerung 41 % zu lang, für immer. Eine Dimension höher ist es schlimmer. Schwarz' Laterne hat jeden Eckpunkt auf einem Zylinder und beliebig kleine Dreiecke, und ihre Gesamtfläche strebt gegen die wahren 2π, gegen das Fünffache davon oder gegen unendlich - je nachdem, wie ihre beiden Verfeinerungen um die Wette laufen. Entscheidend ist nicht die Größe der Stücke, sondern ihre Neigung, und die Leiste misst sie.

Math

Das Präzisionsrennen

Genauigkeit wird mit Arbeit bezahlt, und der Wechselkurs ist keine Eigenschaft des Verfahrens. Vier Regeln integrieren dieselbe Funktion, und die Währung ist, wie oft die Funktion gelesen wird: Das Rennen läuft auf einem Diagramm des Fehlers gegen die Auswertungen mit einer Toleranzlinie, die du setzt, nachdem du den Sieger vorhergesagt hast. Auf einer glatten Funktion erreicht Gauß mit acht Lesungen die Maschinengenauigkeit, die Trapezregel braucht fünfundsechzigtausend; ein einziger Knick in der Funktion, und jede Regel hoher Ordnung fällt in dasselbe Kriechen. Und nach zehn Millionen Termen verlieren die Additionen selbst sechs Stellen.

Math

Ornamentgruppen und Penrose

Die siebzehn Ornamentgruppen, jede aus ein oder zwei Erzeugern gebaut und auf ein Motiv angewandt, das du ziehst; gespiegelte Kopien in einer zweiten Farbe, sodass Drehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen mit dem Auge zu unterscheiden sind. Ordnung, Drehungen und Spiegel der Gruppe an den Elementen abgelesen, nicht am Namen. Und das achtzehnte Muster - Penrose-Rauten - mit Zahlen dicker und dünner Rauten, die zum goldenen Schnitt wandern.