Math

Чому обчислена траєкторія бреше

Комп’ютер не вміє слідувати траєкторії — він уміє робити кроки. Зменшення кроку вдвічі ділить похибку на два, чотири або шістнадцять залежно від методу — доки кроків не стане стільки, що накопичене округлення переважить, і менший крок зробить відповідь ГІРШОЮ. На орбіті найточніший із чотирьох методів усе одно втрачає енергію по прямій, а менш точний лише коливається вічно: точність і повага до інваріанта — різні чесноти. А в хаотичній системі шлях приречений за будь-якого методу: переживає атрактор.

Автор — Mykhailo Makarov

Зображення з програми

Що відбувається

Комп’ютер не вміє йти за траєкторією; він уміє зробити крок, подивитися на сили там, де опинився, і зробити наступний. Усе, що потім іде не так, іде звідси. Крок Ейлера розкручує осцилятор назовні, набираючи енергію, на яку немає права; поміняйте порядок двох рядків — і той самий метод першого порядку тримає енергію обмеженою вічно: це й означає «симплектичний». Верле — другого порядку і симплектичний, інтегратор планет; Рунге–Кутта 4 набагато точніший на крок і все ж дрейфує, повільно. Діліть крок навпіл і читайте виміряний порядок; потім запустіть атрактор Лоренца й дивіться, як два методи розходяться в один і той самий момент часу.

Рівняння модуля

Рівняння
Ейлер: y' = y + h f(y), порядок 1, енергія дрейфує
симплектичний Ейлер: q' = q + hv, v' = v + h a(q'), порядок 1, енергія обмежена
швидкісний Верле: порядок 2, симплектичний
Рунге-Кутта 4: порядок 4, енергія дрейфує повільно

Інші експерименти

До каталогу

Math

Довжина і площа — не те, як фігура виглядає

Наближення може притискатися до кривої скільки завгодно близько і мати хибну довжину: драбина, що збігається до діагоналі, на 41 % довша за будь-якого здрібнення, назавжди. Виміром вище — гірше. У ліхтаря Шварца всі вершини лежать на циліндрі, трикутники скільки завгодно дрібні, а повна площа прямує до істинних 2π, або до вп’ятеро більшого числа, або до нескінченності — залежно лише від того, як біжать наввипередки два здрібнення. Вирішує не розмір шматочків, а їхній нахил, і панель його вимірює.

Math

Перегони точності

Точність купується роботою, і курс обміну — не властивість методу. Чотири правила інтегрують одну функцію, і валюта — скільки разів функцію прочитано: перегони йдуть на графіку похибки проти кількості обчислень з лінією допуску, яку ставиш ти, після твого прогнозу переможця. На гладкій функції Гауссу вистачає восьми читань до машинної точності, а трапеціям треба шістдесят п'ять тисяч; додай у функцію один злам — і всі правила високого порядку скочуються в те саме повзання. А після десяти мільйонів доданків самі додавання втрачають шість знаків.

Math

Групи шпалер і Пенроуз

Сімнадцять груп шпалер, кожна побудована з одного-двох генераторів і прикладена до мотиву, який ти тягнеш; дзеркальні копії другим кольором, щоб повороти, відбиття і ковзні відбиття розрізнялися на око. Порядок групи, її повороти й дзеркала прочитано з елементів, а не з назви. І вісімнадцятий візерунок — ромби Пенроуза — з лічбою товстих і тонких, що прямує до золотого перетину.