Math

Bilard matematyczny

Punkt odbija się bez końca wewnątrz ściany z równymi kątami. W kole kąt nigdy się nie zmienia: tor omija mniejszy okrąg, do którego nie może wejść, a obrót wymierny zamyka się w wielokąt. W stadionie - dwa półkola połączone prostymi ścianami - nie zachowuje się nic prócz prędkości, a dwa tory rozbieżne o miliardową część stopnia dzieli po dwudziestu odbiciach szerokość stołu. Panel to mierzy: rozejście dopasowuje się wykładniczą I prostą.

Autor: Mykhailo Makarov

Obraz z aplikacji

Co się dzieje

Punkt wewnątrz zamkniętej ściany, odbijający się wiecznie pod równymi kątami i bez utraty prędkości - wszystko dalej wynika z kształtu ściany. W kole kąt do ściany jest zachowany, więc tor nie wchodzi do mniejszego koła, kaustyki, i zamyka się w wielokąt, gdy obrót jest wymiernym ułamkiem obrotu. W elipsie zachowana jest inna wielkość, a kula przez jedno ognisko przechodzi przez drugie na zawsze. Przetnij koło na pół i rozsuń połówki - stadion Bunimowicza - a dwa tory odległe o miliardową część rozchodzą się e razy co odbicie. Wypróbuj trzy ściany, obejrzyj kaustykę, potem odczytaj rozbieżność, którą mierzy panel.

Równania modułu

Równania
v' = v − 2(v·n)n,  |v| jest zachowane
okrąg: kąt względem ściany stały, promień kaustyki R cos α
elipsa: J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² jest zachowane
stadion: odległość między dwiema trajektoriami ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 na odbicie

Inne eksperymenty

Wróć do katalogu

Math

Dlaczego obliczona trajektoria kłamie

Komputer nie potrafi podążać za trajektorią; potrafi tylko robić kroki. Zmniejszenie kroku o połowę dzieli błąd przez dwa, cztery albo szesnaście zależnie od metody - dopóki kroków nie zrobi się tyle, że zaokrąglenie przeważy i mniejszy krok pogorszy odpowiedź. Na orbicie najdokładniejsza z czterech metod i tak traci energię po prostej, podczas gdy mniej dokładna jedynie kołysze się bez końca: dokładność i szacunek dla niezmiennika to różne cnoty. A w układzie chaotycznym trajektoria jest stracona przy każdej metodzie: przeżywa atraktor.

Math

Długość i pole to nie to, jak figura wygląda

Przybliżenie może przylegać do krzywej dowolnie blisko i mieć złą długość: schody zbiegające do przekątnej są o 41 % za długie przy każdym zagęszczeniu, na zawsze. O wymiar wyżej jest gorzej. Latarnia Schwarza ma każdy wierzchołek na walcu i trójkąty dowolnie małe, a jej pole całkowite dąży do prawdziwych 2π, do pięciokrotności tego, albo do nieskończoności - zależnie wyłącznie od tego, jak ścigają się oba zagęszczenia. Decyduje nie rozmiar kawałków, lecz ich nachylenie, a panel je mierzy.

Math

Wyścig dokładności

Dokładność kupuje się pracą, a kurs wymiany nie jest cechą metody. Cztery reguły całkują tę samą funkcję, a walutą jest liczba odczytów funkcji: wyścig toczy się na wykresie błędu wobec liczby obliczeń z linią tolerancji, którą ustawiasz ty, po przewidzeniu zwycięzcy. Na gładkiej funkcji Gauss dochodzi do precyzji maszynowej w ośmiu odczytach, a trapezom potrzeba sześćdziesięciu pięciu tysięcy; wstaw w funkcję jedno załamanie, a każda reguła wysokiego rzędu wpada w to samo pełzanie. A po dziesięciu milionach składników same dodawania tracą sześć cyfr.