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Mathematisches Billard

Ein Punkt springt in einer geschlossenen Wand ewig mit gleichen Winkeln umher. Im Kreis ändert sich der Winkel nie: die Bahn meidet einen kleineren Kreis, den sie nie betreten kann, und eine rationale Drehung schließt sich zu einem Vieleck. Im Stadion - zwei Halbkreise, verbunden durch gerade Wände - bleibt nichts erhalten außer der Geschwindigkeit, und zwei Bahnen, die ein Milliardstel Grad auseinanderstarten, sind nach zwanzig Reflexionen eine Tischbreite voneinander entfernt. Die Leiste misst das: die Trennung wird gegen eine Exponentialfunktion UND gegen eine Gerade gefittet.

Von Mykhailo Makarov

Bild aus der Anwendung

Was passiert

Ein Punkt in einer geschlossenen Wand, der ewig mit gleichen Winkeln und ohne Geschwindigkeitsverlust abprallt - alles Weitere folgt aus der Form der Wand. Im Kreis bleibt der Winkel zur Wand erhalten, also bleibt die Bahn außerhalb eines kleineren Kreises, der Kaustik, und schließt sich zu einem Vieleck, wenn die Drehung ein rationaler Bruchteil ist. In der Ellipse bleibt eine andere Größe erhalten, und eine Kugel durch einen Brennpunkt geht ewig durch den anderen. Halbiere den Kreis und zieh die Hälften auseinander - Bunimowitschs Stadion - und zwei Bahnen, ein Milliardstel auseinander, trennen sich mit jedem Aufprall um den Faktor e. Probiere die drei Wände, sieh die Kaustik, dann lies die Trennung, die das Panel misst.

Gleichungen des Moduls

Gleichungen
v' = v − 2(v·n)n,  |v| bleibt erhalten
Kreis: Winkel zur Wand konstant, Kaustikradius R cos α
Ellipse: J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² bleibt erhalten
Stadion: Abstand zweier Bahnen ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 pro Reflexion

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