Math

Математичний більярд

Точка вічно відскакує від стінки з рівними кутами. У колі кут не змінюється: шлях обходить менше коло, до якого не може ввійти, а раціональний поворот замикається в многокутник. У стадіоні — два півкола, з’єднані прямими стінками — не зберігається нічого, крім швидкості, і два шляхи, що розійшлися на мільярдну частку градуса, через двадцять відскоків рознесені на ширину столу. Панель це вимірює: розліт підганяється і експонентою, і прямою.

Автор — Mykhailo Makarov

Зображення з програми

Що відбувається

Точка всередині замкненої стінки відскакує вічно з рівними кутами і без втрати швидкості — усе подальше випливає з форми стінки. У колі кут до стінки зберігається, тому шлях не заходить усередину меншого кола, каустики, і замикається в многокутник, коли поворот — раціональна частка оберту. В еліпсі зберігається інша величина, і куля через один фокус проходить через другий вічно. Розріжте коло навпіл і розсуньте половини — стадіон Бунімовича — і два шляхи на мільярдну частку один від одного розходяться в e разів за відскок. Спробуйте три стінки, подивіться на каустику, потім прочитайте розходження, яке міряє панель.

Рівняння модуля

Рівняння
v' = v − 2(v·n)n,  |v| зберігається
коло: кут зі стінкою сталий, радіус каустики R cos α
еліпс: J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² зберігається
стадіон: віддалення двох траєкторій ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 за одне відбиття

Інші експерименти

До каталогу

Math

Чому обчислена траєкторія бреше

Комп’ютер не вміє слідувати траєкторії — він уміє робити кроки. Зменшення кроку вдвічі ділить похибку на два, чотири або шістнадцять залежно від методу — доки кроків не стане стільки, що накопичене округлення переважить, і менший крок зробить відповідь ГІРШОЮ. На орбіті найточніший із чотирьох методів усе одно втрачає енергію по прямій, а менш точний лише коливається вічно: точність і повага до інваріанта — різні чесноти. А в хаотичній системі шлях приречений за будь-якого методу: переживає атрактор.

Math

Довжина і площа — не те, як фігура виглядає

Наближення може притискатися до кривої скільки завгодно близько і мати хибну довжину: драбина, що збігається до діагоналі, на 41 % довша за будь-якого здрібнення, назавжди. Виміром вище — гірше. У ліхтаря Шварца всі вершини лежать на циліндрі, трикутники скільки завгодно дрібні, а повна площа прямує до істинних 2π, або до вп’ятеро більшого числа, або до нескінченності — залежно лише від того, як біжать наввипередки два здрібнення. Вирішує не розмір шматочків, а їхній нахил, і панель його вимірює.

Math

Перегони точності

Точність купується роботою, і курс обміну — не властивість методу. Чотири правила інтегрують одну функцію, і валюта — скільки разів функцію прочитано: перегони йдуть на графіку похибки проти кількості обчислень з лінією допуску, яку ставиш ти, після твого прогнозу переможця. На гладкій функції Гауссу вистачає восьми читань до машинної точності, а трапеціям треба шістдесят п'ять тисяч; додай у функцію один злам — і всі правила високого порядку скочуються в те саме повзання. А після десяти мільйонів доданків самі додавання втрачають шість знаків.