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Billar matemático

Un punto rebota para siempre dentro de una pared con ángulos iguales. En el círculo el ángulo no cambia nunca: la trayectoria evita un círculo menor en el que no puede entrar, y una rotación racional se cierra en un polígono. En el estadio - dos semicírculos unidos por paredes rectas - no se conserva nada salvo la velocidad, y dos trayectorias separadas por una milmillonésima de grado distan el ancho de la mesa tras veinte rebotes. El panel lo mide: la separación se ajusta con una exponencial Y con una recta.

Por Mykhailo Makarov

Imagen real de la aplicación

Qué ocurre

Un punto dentro de una pared cerrada, rebotando para siempre con ángulos iguales y sin perder velocidad: todo lo que sigue viene de la forma de la pared. En un círculo el ángulo con la pared se conserva, así que la trayectoria queda fuera de un círculo menor, la cáustica, y se cierra en un polígono cuando la rotación es una fracción racional de vuelta. En una elipse se conserva otra cantidad, y una bola que pasa por un foco pasa por el otro para siempre. Corta el círculo por la mitad y separa las mitades - el estadio de Bunimovich - y dos trayectorias a una milmillonésima se separan un factor e en cada rebote. Prueba las tres paredes, mira la cáustica y lee la separación que mide el panel.

Ecuaciones del módulo

Ecuaciones
v' = v − 2(v·n)n,  |v| se conserva
círculo: ángulo con la pared constante, radio de la cáustica R cos α
elipse: J = v_x²/a² + v_y² − (x v_y − y v_x)²/a² se conserva
estadio: separación de dos trayectorias ~ e^{λn}, λ ≈ 1.0 por rebote

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