Math
Розшарування Хопфа
Над кожною точкою звичайної сфери у чотиривимірній сфері висить ціле коло, і ці кола заповнюють її повністю, жодного разу не перетинаючись, — але будь-які два з них зачеплені, рівно один раз, хоч би як далеко розійшлися їхні точки. Потягни точку по маленькому глобусі й дивись, як її коло їде на великій картині; візьми цілу паралель — і кола сплітають тор. Коефіцієнт зачеплення вимірюється інтегралом Гаусса, а кут між двома колами виходить удвічі меншим за кут між їхніми точками — саме тому сфера Блоха кубіта має радіус одна друга.
Що відбувається
Тривимірна сфера — одинична сфера в чотирьох вимірах — складається з кіл, по одному на кожну точку звичайної сфери, і жодні два не торкаються: це розшарування Гопфа. У записі через два комплексні числа множення обох на одну фазу рухає точку вздовж її кола і не змінює її образ на звичайній сфері. Спроєктовані стереографічно в наш простір, кола знову стають колами, вкладеними в тори, і будь-які два зчеплені рівно один раз. Рухайте точку на маленькій сфері й дивіться на її шар; намалюйте ціле коло точок — шари сплетуть тор.
Рівняння модуля
Рівняння
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂): кожен шар є великим колом
стереографічна проєкція: (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d); кола переходять у кола
довільні два шари зачеплені один раз: lk = 1
