Math
Die Hopf-Faserung
Über jedem Punkt einer gewöhnlichen Kugel liegt in der vierdimensionalen Sphäre ein ganzer Kreis, und diese Kreise füllen sie vollständig aus, ohne sich je zu schneiden - dennoch sind je zwei von ihnen verschlungen, genau einmal, wie weit ihre Punkte auch auseinanderliegen. Ziehe einen Punkt auf dem kleinen Globus und sieh zu, wie sein Kreis im großen Bild mitwandert; nimm einen ganzen Breitenkreis, und die Kreise weben einen Torus. Die Verschlingungszahl wird mit dem Gaußschen Integral gemessen, und der Winkel zwischen zwei Kreisen ist halb so groß wie der zwischen ihren Punkten - darum hat die Bloch-Kugel eines Qubits den Radius ein halb.
Was passiert
Die Dreisphäre - die Einheitssphäre in vier Dimensionen - besteht aus Kreisen, einem für jeden Punkt einer gewöhnlichen Kugel, und keine zwei berühren sich: das ist die Hopf-Faserung. In zwei komplexen Zahlen geschrieben, bewegt das Multiplizieren beider mit derselben Phase einen Punkt entlang seines Kreises und lässt sein Bild auf der gewöhnlichen Kugel unverändert. Stereographisch in unseren Raum projiziert werden die Kreise wieder Kreise, in Tori geschachtelt, und je zwei sind genau einmal verschlungen. Bewege den Punkt auf der kleinen Kugel und sieh seine Faser; zeichne einen ganzen Kreis von Punkten, und die Fasern weben einen Torus.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂): jede Faser ist ein Großkreis
stereografisch: (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d); Kreise werden auf Kreise abgebildet
je zwei Fasern sind genau einmal verschlungen: lk = 1
