Math
Eine Kurve, die ein Quadrat füllt
Eine Linie hat keine Fläche - und doch kann eine Kurve durch jeden Punkt eines Quadrats laufen: Peano fand 1890 eine, Hilbert zeichnete 1891 seine. In jeder Ordnung besucht die Kurve jede Zelle genau einmal und rückt dabei um eine Zelle weiter; der Grenzwert ist stetig. Zieh die Marke: ein Zehntel der Kurve bleibt in etwa einem Drittel der Seite - darum indizieren Datenbanken und Bildformate den Raum entlang einer solchen Kurve. Die Umkehrung gilt nicht, und die Leiste misst auch das: zwei benachbarte Zellen können fünf Sechstel der Kurve auseinanderliegen.
Was passiert
Eine Strecke hat so viele Punkte wie ein Quadrat - Cantor bewies es 1878, niemand wollte es glauben, und seine Zuordnung zerriss die Strecke zu Staub. Peano und Hilbert fanden eine stetige: eine Kurve, die jede Zelle eines Gitters einmal besucht, verfeinert durch eine Regel, die jeden Schritt eine Zelle lang hält, und im Grenzwert durch jeden Punkt des Quadrats geht. Ihre Länge verdoppelt sich mit jeder Ordnung, während die gefüllte Fläche eins bleibt. Dieselbe Regel hebt sich in den Würfel. Erhöhe die Ordnung, folge der Kurve mit dem Marker, und sieh nahe Punkte der Strecke im Quadrat nahe bleiben - meistens.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Hilbert: die Zelle im Abstand d ergibt sich aus den Bits von d, jeweils zwei auf einmal Peano: Basis 3, drei Zellen pro Ziffer jede Kurve ist eine Permutation der Zellen, jeder Schritt geht um eine Zelle weiter Länge bei Ordnung n, Einheitsquadrat: (4^n − 1)/2^n → ∞, während die Fläche 1 bleibt
