Math
Кривая, заполняющая квадрат
У линии нет площади — и всё же кривая может пройти через каждую точку квадрата: Пеано нашёл такую в 1890 году, Гильберт нарисовал свою в 1891-м. На каждом порядке кривая обходит все клетки ровно по разу, сдвигаясь на одну клетку за шаг, и предел непрерывен. Потяни метку: десятая часть кривой остаётся внутри примерно трети стороны — по такой кривой и индексируют пространство базы данных и форматы изображений. Обратное неверно, и панель это тоже измеряет: две соприкасающиеся клетки могут отстоять на пять шестых кривой.
Что происходит
На отрезке столько же точек, сколько в квадрате, — Кантор доказал это в 1878-м, никто не хотел верить, а его соответствие разрывало отрезок в пыль. Пеано и Гильберт нашли непрерывное: кривую, посещающую каждую клетку сетки один раз, измельчаемую правилом, которое держит каждый шаг длиной в клетку, и в пределе проходящую через каждую точку квадрата. Её длина удваивается с каждым порядком, а заполняемая площадь остаётся единицей. То же правило поднимается в куб. Поднимайте порядок, ведите по кривой маркер и смотрите, как близкие точки прямой остаются близкими в квадрате — по большей части.
Уравнения модуля
Уравнения Гильберт: клетка на расстоянии d вычисляется по битам d, по два за раз Пеано: основание 3, три клетки на цифру каждая кривая - перестановка клеток, каждый шаг - одна клетка длина на порядке n, единичный квадрат: (4^n − 1)/2^n → ∞, тогда как площадь остаётся 1
