Math
Una curva che riempie un quadrato
Una linea non ha area - eppure una curva può passare per ogni punto di un quadrato: Peano ne trovò una nel 1890, Hilbert disegnò la sua nel 1891. A ogni ordine la curva visita ogni cella esattamente una volta, spostandosi di una cella per passo, e il limite è continuo. Trascina il segnalino: un decimo della curva resta dentro circa un terzo del lato - per questo banche dati e formati d'immagine indicizzano lo spazio lungo una curva simile. L'inverso è falso, e il pannello misura anche quello: due celle che si toccano possono distare cinque sesti della curva.
Cosa succede
Un segmento ha tanti punti quanti un quadrato - Cantor lo dimostrò nel 1878, nessuno voleva crederci, e la sua corrispondenza sbriciolava il segmento. Peano e Hilbert ne trovarono una continua: una curva che visita ogni cella di una griglia una volta, raffinata da una regola che tiene ogni passo lungo una cella, e che al limite passa per ogni punto del quadrato. La sua lunghezza raddoppia a ogni ordine mentre l'area che riempie resta uno. La stessa regola sale al cubo. Alza l'ordine, segui la curva con il marcatore, e guarda punti vicini sulla retta restare vicini nel quadrato - per lo più.
Equazioni del modulo
Equazioni Hilbert: la cella alla distanza d si ottiene dai bit di d, due alla volta Peano: base 3, tre celle per cifra ogni curva è una permutazione delle celle, e ogni passo è di una sola cella lunghezza all'ordine n, quadrato unitario: (4^n − 1)/2^n → ∞ mentre l'area resta 1
