Math
Una curva que llena un cuadrado
Una línea no tiene área - y aun así una curva puede pasar por cada punto de un cuadrado: Peano encontró una en 1890, Hilbert dibujó la suya en 1891. En cada orden la curva visita cada celda exactamente una vez, avanzando una celda por paso, y el límite es continuo. Arrastra el marcador: una décima parte de la curva se queda dentro de un tercio del lado aproximadamente - por eso las bases de datos y los formatos de imagen indexan el espacio a lo largo de una curva así. Lo recíproco es falso, y el panel también lo mide: dos celdas que se tocan pueden distar cinco sextos de la curva.
Qué ocurre
Un segmento tiene tantos puntos como un cuadrado: Cantor lo demostró en 1878, nadie quiso creerlo, y su emparejamiento hacía polvo el segmento. Peano y Hilbert hallaron uno continuo: una curva que visita cada celda de una malla una vez, refinada por una regla que mantiene cada paso de una celda, y que en el límite pasa por cada punto del cuadrado. Su longitud se duplica con cada orden mientras el área que llena sigue siendo uno. La misma regla sube al cubo. Sube el orden, sigue la curva con el marcador y mira cómo puntos cercanos en la recta siguen cercanos en el cuadrado, casi siempre.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones Hilbert: la celda a distancia d a partir de los bits de d, de dos en dos Peano: base 3, tres celdas por dígito toda curva es una permutación de las celdas, con cada paso de una celda longitud de orden n, cuadrado unidad: (4^n − 1)/2^n → ∞ mientras el área se mantiene en 1
