Math
Une courbe qui remplit un carré
Une ligne n'a pas d'aire - et pourtant une courbe peut passer par chaque point d'un carré : Peano en trouva une en 1890, Hilbert dessina la sienne en 1891. À chaque ordre la courbe visite chaque cellule exactement une fois, en avançant d'une cellule à la fois, et la limite est continue. Fais glisser le repère : un dixième de la courbe reste dans environ un tiers du côté - c'est pourquoi bases de données et formats d'images indexent l'espace le long d'une telle courbe. La réciproque est fausse, et le panneau le mesure aussi : deux cellules qui se touchent peuvent être à cinq sixièmes de la courbe l'une de l'autre.
Ce qui se passe
Un segment a autant de points qu'un carré - Cantor l'a prouvé en 1878, personne ne voulait le croire, et sa correspondance réduisait le segment en poussière. Peano et Hilbert en ont trouvé une continue : une courbe qui visite chaque cellule d'une grille une fois, raffinée par une règle qui garde chaque pas long d'une cellule, et qui à la limite passe par chaque point du carré. Sa longueur double à chaque ordre tandis que l'aire qu'elle remplit reste un. La même règle se relève dans le cube. Montez l'ordre, suivez la courbe avec le marqueur, et regardez des points voisins sur la droite rester voisins dans le carré - le plus souvent.
Équations du module
Équations Hilbert : la cellule à la distance d, obtenue à partir des bits de d, deux à la fois Peano : base 3, trois cellules par chiffre chaque courbe est une permutation des cellules, chaque pas d'une seule cellule longueur à l'ordre n, carré unité : (4^n − 1)/2^n → ∞ tandis que l'aire reste 1
