Math
Krzywa, która wypełnia kwadrat
Linia nie ma pola - a mimo to krzywa może przejść przez każdy punkt kwadratu: Peano znalazł taką w 1890 roku, Hilbert narysował swoją w 1891. W każdym rzędzie krzywa odwiedza każdą komórkę dokładnie raz, przesuwając się o jedną komórkę na krok, a granica jest ciągła. Przeciągnij znacznik: dziesiąta część krzywej mieści się mniej więcej w jednej trzeciej boku - dlatego bazy danych i formaty obrazów indeksują przestrzeń wzdłuż takiej krzywej. Odwrotność jest fałszywa, i panel to też mierzy: dwie stykające się komórki mogą dzielić pięć szóstych krzywej.
Co się dzieje
Odcinek ma tyle samo punktów co kwadrat - Cantor dowiódł tego w 1878 r., nikt nie chciał wierzyć, a jego przyporządkowanie rozrywało odcinek w pył. Peano i Hilbert znaleźli ciągłe: krzywą odwiedzającą każdą komórkę siatki raz, zagęszczaną regułą, która trzyma każdy krok długości jednej komórki, i w granicy przechodzącą przez każdy punkt kwadratu. Jej długość podwaja się z każdym rzędem, a wypełniane pole pozostaje jeden. Ta sama reguła wznosi się do sześcianu. Podnoś rząd, prowadź znacznik po krzywej i patrz, jak bliskie punkty prostej pozostają bliskie w kwadracie - przeważnie.
Równania modułu
Równania Hilbert: komórka w odległości d odczytana z bitów liczby d, po dwa naraz Peano: podstawa 3, trzy komórki na cyfrę każda krzywa jest permutacją komórek, każdy krok to jedna komórka długość dla rzędu n, kwadrat jednostkowy: (4^n − 1)/2^n → ∞, podczas gdy pole pozostaje 1
