Math
Rozwłóknienie Hopfa
Nad każdym punktem zwykłej sfery wisi w sferze czterowymiarowej cały okrąg, a te okręgi wypełniają ją bez reszty i nigdy się nie przecinają - a mimo to dowolne dwa z nich są zaplecione, dokładnie raz, jakkolwiek daleko od siebie leżą ich punkty. Przeciągnij punkt po małym globusie i patrz, jak jego okrąg wędruje po dużym obrazie; weź cały równoleżnik, a okręgi utkają torus. Współczynnik zaplecenia mierzy całka Gaussa, a kąt między dwoma okręgami wychodzi o połowę mniejszy niż kąt między ich punktami - i właśnie dlatego sfera Blocha kubitu ma promień jedna druga.
Co się dzieje
Trójsfera - sfera jednostkowa w czterech wymiarach - składa się z okręgów, po jednym na każdy punkt zwykłej sfery, i żadne dwa się nie stykają: to fibracja Hopfa. Zapisana w dwóch liczbach zespolonych: pomnożenie obu przez tę samą fazę przesuwa punkt wzdłuż jego okręgu i nie zmienia jego obrazu na zwykłej sferze. Rzutowane stereograficznie do naszej przestrzeni okręgi znów są okręgami, zagnieżdżonymi w torusach, a dowolne dwa są zaczepione dokładnie raz. Poruszaj punktem na małej sferze i patrz na jego włókno; narysuj cały okrąg punktów, a włókna utkają torus.
Równania modułu
Równania
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂): każde włókno jest okręgiem wielkim
rzut stereograficzny: (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d); okręgi są odwzorowywane na okręgi
każde dwa włókna zazębiają się jednokrotnie: lk = 1
