Math
La fibrazione di Hopf
Sopra ogni punto di una sfera ordinaria si trova, nella sfera a quattro dimensioni, un'intera circonferenza; quelle circonferenze la riempiono senza mai incrociarsi - eppure due qualsiasi di esse sono allacciate, esattamente una volta, per quanto lontani stiano i loro punti. Trascina un punto sul piccolo globo e guarda la sua circonferenza muoversi nell'immagine grande; prendi un intero parallelo e le circonferenze tessono un toro. Il numero di allacciamento è misurato con l'integrale di Gauss, e l'angolo fra due circonferenze risulta la metà dell'angolo fra i loro punti - ecco perché la sfera di Bloch di un qubit ha raggio un mezzo.
Cosa succede
La tre-sfera - la sfera unitaria in quattro dimensioni - è fatta di cerchi, uno per ogni punto di una sfera ordinaria, e nessuno tocca un altro: è la fibrazione di Hopf. Scritta in due numeri complessi, moltiplicare entrambi per la stessa fase sposta un punto lungo il suo cerchio e lascia la sua immagine sulla sfera ordinaria immutata. Proiettati stereograficamente nel nostro spazio, i cerchi tornano cerchi, annidati in tori, e due qualsiasi sono allacciati esattamente una volta. Muovi il punto sulla piccola sfera e guarda la sua fibra; disegna un intero cerchio di punti e le fibre tessono un toro.
Equazioni del modulo
Equazioni
h(z₁, z₂) = (2 Re(conj(z₁)z₂), 2 Im(conj(z₁)z₂), |z₁|² − |z₂|²), |z₁|² + |z₂|² = 1
h(e^{iφ}z₁, e^{iφ}z₂) = h(z₁, z₂): ogni fibra è un cerchio massimo
proiezione stereografica: (a, b, c, d) → (a, b, c)/(1 − d); le circonferenze vanno in circonferenze
due fibre qualsiasi si allacciano una volta sola: lk = 1
