Math
Вершины, рёбра, грани
Тело из нескольких десятков граней и V − E + F, прочитанное после каждой правки: триангулируй грань, поставь в неё вершину, раздели или сотри ребро, вырежи грань, измельчи все — журнал показывает, что каждая операция делает с V, E и F и что χ меняется только при вырезании дыры. Род выводится из χ с названными условиями: сколько кусков, сколько граничных петель, ориентируема ли поверхность — на ленте Мёбиуса формула даёт вместо рода число плёнок.
Что происходит
Сосчитай вершины, рёбра и грани тела: V − E + F. У бруска это 2; просверли насквозь тоннель — будет 0; два тоннеля — −2. Числу всё равно, как поверхность разрезана на грани: триангулируй грань, поставь в неё вершину, раздели ребро, сотри его, измельчи всё — V, E и F меняются, а знакопеременная сумма стоит на месте. Меняет её только вырезание грани — ровно на единицу. Но одно χ ещё не форма: род следует из него, только когда сосчитаны куски и граничные петли и поверхность ориентируема — у тора и цилиндра одинаковое χ = 0, а лента Мёбиуса ни то, ни другое.
Уравнения модуля
Уравнения χ = V − E + F ориентируемая, c частей, b граничных петель: χ = 2c − 2g − b неориентируемая: χ = 2c − k − b (k плёнок Мёбиуса) триангуляция n-угольника: ΔE = ΔF = n − 3; вершина в грани: ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1 разделить ребро: ΔV = ΔE = 1; стереть ребро: ΔE = ΔF = −1; вырезать грань: ΔF = −1, Δχ = −1
