Math

Ecken, Kanten, Flächen

Ein Körper aus einigen Dutzend Flächen, und V − E + F nach jeder Änderung abgelesen: eine Fläche triangulieren, eine Ecke hineinsetzen, eine Kante teilen oder löschen, eine Fläche ausschneiden, alle verfeinern - ein Protokoll zeigt, was jede Operation mit V, E und F macht und dass χ sich nur beim Ausschneiden eines Lochs bewegt. Das Geschlecht folgt aus χ mit genannten Bedingungen: wie viele Stücke, wie viele Randschleifen, orientierbar oder nicht - auf dem Möbiusband liefert die Formel stattdessen Kreuzhauben.

Von Mykhailo Makarov

Bild aus der Anwendung

Was passiert

Zähle Ecken, Kanten und Flächen eines Körpers: V − E + F. Bei einem Block ist es 2; bohre einen Tunnel hindurch und es ist 0; zwei Tunnel, −2. Der Zahl ist gleich, wie die Oberfläche in Flächen zerlegt ist - trianguliere eine Fläche, setze eine Ecke hinein, teile eine Kante, lösche eine, verfeinere alles: V, E und F bewegen sich, ihre Wechselsumme steht still. Nur das Ausschneiden einer Fläche ändert sie, um eins. Doch χ allein ist nicht die Form: das Geschlecht folgt daraus erst, wenn Stücke und Randschleifen gezählt sind und die Fläche orientierbar ist - Torus und Zylinder teilen χ = 0, und ein Möbiusband ist keines von beiden.

Gleichungen des Moduls

Gleichungen
χ = V − E + F
orientierbar, c Komponenten, b Randkurven:  χ = 2c − 2g − b
nicht orientierbar:  χ = 2c − k − b  (k Kreuzhauben)
ein n-Eck triangulieren: ΔE = ΔF = n − 3;  Ecke in einer Fläche: ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1
eine Kante teilen: ΔV = ΔE = 1;  eine Kante löschen: ΔE = ΔF = −1;  eine Fläche herausschneiden: ΔF = −1, Δχ = −1

Weitere Experimente

Zum Katalog

Math

Ein 4D-Körper zieht hindurch

Wie ein vierdimensionaler Körper aus dem dreidimensionalen Raum heraus aussieht: nur als seine Scheibe, und die Scheibe ändert sich, während der Körper hindurchzieht. Ein Tesserakt, der eckenvoran kommt, zeigt ein Tetraeder, das wächst, seine Ecken verliert, zum Oktaeder wird und wieder schrumpft; zellenvoran zeigt er einen Würfel für die ganze Passage. Die Scheiben werden aus den geschnittenen Zellen gebaut, gezählt, gemessen, und ihr über die Passage integriertes Volumen ist in jeder Orientierung das 4-Volumen - Cavalieri, eine Dimension höher.

Math

Die Hopf-Faserung

Über jedem Punkt einer gewöhnlichen Kugel liegt in der vierdimensionalen Sphäre ein ganzer Kreis, und diese Kreise füllen sie vollständig aus, ohne sich je zu schneiden - dennoch sind je zwei von ihnen verschlungen, genau einmal, wie weit ihre Punkte auch auseinanderliegen. Ziehe einen Punkt auf dem kleinen Globus und sieh zu, wie sein Kreis im großen Bild mitwandert; nimm einen ganzen Breitenkreis, und die Kreise weben einen Torus. Die Verschlingungszahl wird mit dem Gaußschen Integral gemessen, und der Winkel zwischen zwei Kreisen ist halb so groß wie der zwischen ihren Punkten - darum hat die Bloch-Kugel eines Qubits den Radius ein halb.

Math

Eine Kurve, die ein Quadrat füllt

Eine Linie hat keine Fläche - und doch kann eine Kurve durch jeden Punkt eines Quadrats laufen: Peano fand 1890 eine, Hilbert zeichnete 1891 seine. In jeder Ordnung besucht die Kurve jede Zelle genau einmal und rückt dabei um eine Zelle weiter; der Grenzwert ist stetig. Zieh die Marke: ein Zehntel der Kurve bleibt in etwa einem Drittel der Seite - darum indizieren Datenbanken und Bildformate den Raum entlang einer solchen Kurve. Die Umkehrung gilt nicht, und die Leiste misst auch das: zwei benachbarte Zellen können fünf Sechstel der Kurve auseinanderliegen.