Math

Wierzchołki, krawędzie, ściany

Bryła z kilkudziesięciu ścian i V − E + F odczytane po każdej zmianie: trianguluj ścianę, wstaw w nią wierzchołek, podziel lub zmaż krawędź, wytnij ścianę, zagęść wszystkie - dziennik pokazuje, co każda operacja robi z V, E i F, i że χ zmienia się tylko przy wycięciu dziury. Genus wynika z χ z podanymi warunkami: ile kawałków, ile pętli brzegowych, orientowalna czy nie - na wstędze Möbiusa wzór daje zamiast tego czapki krzyżowe.

Autor: Mykhailo Makarov

Obraz z aplikacji

Co się dzieje

Policz wierzchołki, krawędzie i ściany bryły: V − E + F. Dla klocka to 2; przewierć tunel - będzie 0; dwa tunele, −2. Liczbie jest obojętne, jak powierzchnię pocięto na ściany - trianguluj ścianę, wstaw wierzchołek, podziel krawędź, zmaż inną, zagęść wszystko: V, E i F się zmieniają, a ich suma naprzemienna stoi w miejscu. Zmienia ją tylko wycięcie ściany, o jeden. Ale samo χ to jeszcze nie kształt: genus wynika z niego dopiero, gdy policzono kawałki i pętle brzegowe, a powierzchnia jest orientowalna - torus i walec mają to samo χ = 0, a wstęga Möbiusa nie jest żadnym z nich.

Równania modułu

Równania
χ = V − E + F
orientowalna, c części, b pętli brzegowych:  χ = 2c − 2g − b
nieorientowalna:  χ = 2c − k − b  (k czapek krzyżowych)
triangulacja n-kąta: ΔE = ΔF = n − 3;  wierzchołek wewnątrz ściany: ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1
podział krawędzi: ΔV = ΔE = 1;  usunięcie krawędzi: ΔE = ΔF = −1;  wycięcie ściany: ΔF = −1, Δχ = −1

Inne eksperymenty

Wróć do katalogu

Math

Bryła 4D przechodzi na wskroś

Jak wygląda czterowymiarowa bryła z wnętrza przestrzeni trójwymiarowej: tylko jako swój przekrój, a przekrój zmienia się, gdy bryła przechodzi. Tesserakt idący wierzchołkiem naprzód pokazuje czworościan, który rośnie, traci naroża, staje się ośmiościanem i kurczy się z powrotem; komórką naprzód pokazuje jeden sześcian przez całe przejście. Przekroje są budowane z przeciętych komórek, liczone, mierzone, a ich objętość scałkowana po przejściu to 4-objętość w każdej orientacji - Cavalieri o wymiar wyżej.

Math

Rozwłóknienie Hopfa

Nad każdym punktem zwykłej sfery wisi w sferze czterowymiarowej cały okrąg, a te okręgi wypełniają ją bez reszty i nigdy się nie przecinają - a mimo to dowolne dwa z nich są zaplecione, dokładnie raz, jakkolwiek daleko od siebie leżą ich punkty. Przeciągnij punkt po małym globusie i patrz, jak jego okrąg wędruje po dużym obrazie; weź cały równoleżnik, a okręgi utkają torus. Współczynnik zaplecenia mierzy całka Gaussa, a kąt między dwoma okręgami wychodzi o połowę mniejszy niż kąt między ich punktami - i właśnie dlatego sfera Blocha kubitu ma promień jedna druga.

Math

Krzywa, która wypełnia kwadrat

Linia nie ma pola - a mimo to krzywa może przejść przez każdy punkt kwadratu: Peano znalazł taką w 1890 roku, Hilbert narysował swoją w 1891. W każdym rzędzie krzywa odwiedza każdą komórkę dokładnie raz, przesuwając się o jedną komórkę na krok, a granica jest ciągła. Przeciągnij znacznik: dziesiąta część krzywej mieści się mniej więcej w jednej trzeciej boku - dlatego bazy danych i formaty obrazów indeksują przestrzeń wzdłuż takiej krzywej. Odwrotność jest fałszywa, i panel to też mierzy: dwie stykające się komórki mogą dzielić pięć szóstych krzywej.