Math

Sommets, arêtes, faces

Un solide de quelques dizaines de faces, et V − E + F relu après chaque modification : trianguler une face, y placer un sommet, couper ou effacer une arête, découper une face, tout raffiner - un journal montre ce que chaque opération fait à V, E et F, et que χ ne bouge que lorsqu'on découpe un trou. Le genre se déduit de χ avec ses conditions énoncées : combien de morceaux, combien de boucles de bord, orientable ou non - sur un ruban de Möbius la formule donne des bonnets croisés à la place.

Par Mykhailo Makarov

Image réelle de l’application

Ce qui se passe

Comptez les sommets, arêtes et faces d'un solide : V − E + F. Sur un bloc c'est 2 ; percez-le d'un tunnel et c'est 0 ; deux tunnels, −2. Le nombre ne dépend pas de la découpe en faces - triangulez une face, placez-y un sommet, coupez une arête, effacez-en une, raffinez tout : V, E et F bougent, leur somme alternée reste immobile. Seul le découpage d'une face la change, d'une unité. Mais χ seul n'est pas la forme : le genre n'en découle qu'une fois les morceaux et les boucles de bord comptés, et la surface orientable - un tore et un cylindre partagent χ = 0, et un ruban de Möbius n'est ni l'un ni l'autre.

Équations du module

Équations
χ = V − E + F
orientable, c composantes, b boucles de bord :  χ = 2c − 2g − b
non orientable :  χ = 2c − k − b  (k bonnets croisés)
trianguler un n-gone : ΔE = ΔF = n − 3 ;  sommet dans une face : ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1
scinder une arête : ΔV = ΔE = 1 ;  effacer une arête : ΔE = ΔF = −1 ;  retirer une face : ΔF = −1, Δχ = −1

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