Math
Вершини, ребра, грані
Тіло з кількох десятків граней і V − E + F, прочитане після кожної правки: тріангулюй грань, постав у неї вершину, розділи чи зітри ребро, виріж грань, подрібни всі — журнал показує, що кожна операція робить з V, E та F і що χ змінюється лише тоді, коли вирізано діру. Рід виводиться з χ з названими умовами: скільки шматків, скільки граничних петель, чи орієнтовна поверхня — на стрічці Мебіуса формула дає замість роду кількість плівок.
Що відбувається
Порахуй вершини, ребра й грані тіла: V − E + F. У бруска це 2; просвердли наскрізь тунель — буде 0; два тунелі — −2. Числу байдуже, як поверхню розрізано на грані: тріангулюй грань, постав у неї вершину, розділи ребро, зітри його, подрібни все — V, E і F змінюються, а знакозмінна сума стоїть на місці. Змінює її лише вирізання грані — рівно на одиницю. Та саме χ ще не форма: рід випливає з нього, лише коли пораховано шматки й граничні петлі і поверхня орієнтовна — у тора й циліндра однакове χ = 0, а стрічка Мебіуса ні те, ні інше.
Рівняння модуля
Рівняння χ = V − E + F орієнтовна, c частин, b граничних контурів: χ = 2c − 2g − b неорієнтовна: χ = 2c − k − b (k перехресних ковпаків) тріангуляція n-кутника: ΔE = ΔF = n − 3; вершина всередині грані: ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1 розбиття ребра: ΔV = ΔE = 1; видалення ребра: ΔE = ΔF = −1; вирізання грані: ΔF = −1, Δχ = −1
