Math

Vértices, aristas, caras

Un cuerpo de unas decenas de caras, y V − E + F leído tras cada edición: triangular una cara, poner un vértice en ella, dividir o borrar una arista, recortar una cara, refinarlas todas - un registro muestra qué hace cada operación con V, E y F, y que χ solo se mueve al recortar un agujero. El género sale de χ con sus condiciones dichas: cuántas piezas, cuántos lazos de borde, orientable o no - en una cinta de Möbius la fórmula da gorros cruzados en su lugar.

Por Mykhailo Makarov

Imagen real de la aplicación

Qué ocurre

Cuenta los vértices, aristas y caras de un cuerpo: V − E + F. En un bloque es 2; perfora un túnel y es 0; dos túneles, −2. Al número no le importa cómo se corte la superficie en caras - triangula una cara, pon un vértice en ella, divide una arista, borra otra, refina todo: V, E y F se mueven y su suma alterna se queda quieta. Solo recortar una cara la cambia, en uno. Pero χ solo no es la forma: el género se deduce de él únicamente cuando se han contado piezas y lazos de borde y la superficie es orientable - un toro y un cilindro comparten χ = 0, y una cinta de Möbius no es ninguno de los dos.

Ecuaciones del módulo

Ecuaciones
χ = V − E + F
orientable, c piezas, b curvas de borde:  χ = 2c − 2g − b
no orientable:  χ = 2c − k − b  (k gorros cruzados)
triangular un n-ágono: ΔE = ΔF = n − 3;  vértice dentro de una cara: ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1
dividir una arista: ΔV = ΔE = 1;  borrar una arista: ΔE = ΔF = −1;  recortar una cara: ΔF = −1, Δχ = −1

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