Math

Vertici, spigoli, facce

Un solido di qualche decina di facce, e V − E + F riletto dopo ogni modifica: triangola una faccia, mettici un vertice, dividi o cancella uno spigolo, ritaglia una faccia, raffinale tutte - un registro mostra cosa fa ogni operazione a V, E e F, e che χ si muove solo quando si ritaglia un buco. Il genere viene da χ con le sue condizioni dichiarate: quanti pezzi, quanti cicli di bordo, orientabile o no - sul nastro di Möbius la formula dà invece cross-cap.

Di Mykhailo Makarov

Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Conta vertici, spigoli e facce di un solido: V − E + F. Su un blocco è 2; foralo con un tunnel ed è 0; due tunnel, −2. Al numero non importa come la superficie è tagliata in facce - triangola una faccia, mettici un vertice, dividi uno spigolo, cancellane uno, raffina tutto: V, E e F si muovono, la loro somma alterna resta ferma. Solo ritagliare una faccia la cambia, di uno. Ma χ da solo non è la forma: il genere ne segue solo quando pezzi e cicli di bordo sono contati e la superficie è orientabile - toro e cilindro hanno entrambi χ = 0, e un nastro di Möbius non è né l'uno né l'altro.

Equazioni del modulo

Equazioni
χ = V − E + F
orientabile, c componenti, b curve di bordo:  χ = 2c − 2g − b
non orientabile:  χ = 2c − k − b  (k calotte incrociate)
triangolare un n-agono: ΔE = ΔF = n − 3;  vertice in una faccia: ΔV = 1, ΔE = n, ΔF = n − 1
dividere uno spigolo: ΔV = ΔE = 1;  cancellare uno spigolo: ΔE = ΔF = −1;  asportare una faccia: ΔF = −1, Δχ = −1

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