MakarovSuites
Italiano
EnglishDeutschРусскийУкраїнськаFrançaisEspañolItalianoPolski
Contatti e licenze

Math

Un solido 4D che attraversa

Come appare un solido a quattro dimensioni da dentro lo spazio tridimensionale: solo la sua fetta, e la fetta cambia mentre il solido attraversa. Un tesseratto che arriva vertice in avanti mostra un tetraedro che cresce, perde gli spigoli, diventa un ottaedro e si restringe; cella in avanti mostra un solo cubo per tutto il passaggio. Le fette sono costruite dalle celle attraversate, contate, misurate, e il loro volume integrato sul passaggio è il 4-volume in ogni orientazione: Cavalieri, una dimensione più su.

Di Mykhailo Makarov

Un solido 4D che attraversa — Immagine reale dell’applicazione
Immagine reale dell’applicazione

Cosa succede

Una creatura piatta che guarda un cubo attraversare il suo piano vede un quadrato comparire e sparire - o, spigolo avanti, un punto crescere in triangolo, poi in esagono, poi restringersi. Noi siamo quella creatura una dimensione più su. Un solido quadridimensionale spinto attraverso il nostro spazio lascia una sequenza di poliedri ordinari, e la sequenza dipende dalla direzione: il tesseratto con la cella avanti è un cubo che sta e se ne va; con il vertice avanti è un tetraedro che si tronca in ottaedro e torna. Scegli un solido e una direzione, fai scorrere l'iperpiano e conta le facce sul pannello.

Equazioni del modulo
Equazioni
l'iperpiano w = c taglia ogni spigolo che lo attraversa in t = w_a/(w_a − w_b)
tesseratto: 16 vertici (±1,±1,±1,±1), 32 spigoli, 8 cubi;  16-celle: 8 vertici, 24 spigoli, 16 tetraedri
cella per prima: un cubo;  vertice per primo: tetraedro → troncato → ottaedro → …
ogni sezione è un poliedro chiuso: V − E + F = 2

Altri esperimenti

Torna al catalogo
La fibrazione di Hopf — Immagine reale dell’applicazione

Math

La fibrazione di Hopf

Sopra ogni punto di una sfera ordinaria si trova, nella sfera a quattro dimensioni, un'intera circonferenza; quelle circonferenze la riempiono senza mai incrociarsi - eppure due qualsiasi di esse sono allacciate, esattamente una volta, per quanto lontani stiano i loro punti. Trascina un punto sul piccolo globo e guarda la sua circonferenza muoversi nell'immagine grande; prendi un intero parallelo e le circonferenze tessono un toro. Il numero di allacciamento è misurato con l'integrale di Gauss, e l'angolo fra due circonferenze risulta la metà dell'angolo fra i loro punti - ecco perché la sfera di Bloch di un qubit ha raggio un mezzo.

Una curva che riempie un quadrato — Immagine reale dell’applicazione

Math

Una curva che riempie un quadrato

Una linea non ha area - eppure una curva può passare per ogni punto di un quadrato: Peano ne trovò una nel 1890, Hilbert disegnò la sua nel 1891. A ogni ordine la curva visita ogni cella esattamente una volta, spostandosi di una cella per passo, e il limite è continuo. Trascina il segnalino: un decimo della curva resta dentro circa un terzo del lato - per questo banche dati e formati d'immagine indicizzano lo spazio lungo una curva simile. L'inverso è falso, e il pannello misura anche quello: due celle che si toccano possono distare cinque sesti della curva.