Math
Jusqu'où porte un polynôme de Taylor
Près de son centre un polynôme de Taylor est indiscernable de la fonction, et chaque terme supplémentaire paie. Plus loin, trois choses différentes échouent : hors du rayon de convergence davantage de termes dégradent la réponse sans limite, exp(−1/x²) a une série qui converge partout et n'est juste qu'en un point, et même dans le rayon la sommation peut perdre tous les chiffres. Le rayon est la distance à une singularité qui n'est pas sur l'axe réel.
Ce qui se passe
Un polynôme de Taylor est le mieux que les dérivées d'une fonction en un point puissent dire d'elle ailleurs. Près du point l'affirmation est forte - l'erreur tombe comme une puissance de la distance, une de plus à chaque degré - et le zoom le montre : chaque nouveau terme redresse l'ajustement sur une fenêtre plus large. Loin du point l'affirmation peut échouer tout à fait. 1/(1 + 25x²) est lisse sur toute la droite réelle et sa série en 0 meurt au-delà de |x| = 0,2, parce que la fonction a des pôles en ±i/5 que la droite réelle ne voit jamais. Ajoutez des termes, zoomez, et regardez le polynôme épouser la courbe dans le rayon et s'envoler dehors.
Équations du module
Équations
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
reste ~ |x − a|^{n+1} près du centre
rayon de convergence = distance à la singularité la plus proche dans le plan complexe
1/(1 + 25x²) : pôles en ±i/5, R = 0.2 autour de 0
où davantage de termes aident (tail1303) : le plus large intervalle autour de a sur lequel |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, parcouru vers l'extérieur, une égalité ou un reste inférieur à 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|) comptant comme une aide
1/(1 + 25x²) autour de 0 : ±0.2 = R à n = 12 et à n = 24 ; autour de 0.4 : [0.144, 1.56] à n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 à n = 30 - aider à un ordre donné n'est pas converger
