Math
Доки дістає многочлен Тейлора
Біля свого центру многочлен Тейлора невідрізненний від функції, і кожен зайвий член окупається. Далі ламається трьома різними способами: за радіусом збіжності більше членів робить відповідь гіршою без межі, у exp(−1/x²) ряд збігається всюди і збігається з функцією в одній точці, і навіть усередині радіуса підсумовування здатне викинути всі цифри. Радіус — це відстань до особливості, якої на дійсній прямій немає.
Що відбувається
Многочлен Тейлора — найкраще, що похідні функції в одній точці можуть сказати про неї десь інде. Поблизу точки твердження сильне — похибка спадає як степінь відстані, на одиницю вище з кожним порядком, — і зум це показує: кожен новий член виправляє наближення на ширшому вікні. Далеко від точки твердження може провалитися зовсім. 1/(1 + 25x²) гладка на всій дійсній прямій, а її ряд біля 0 вмирає за |x| = 0,2, бо у функції полюси в ±i/5, яких дійсна пряма не бачить. Додавайте члени, збільшуйте й дивіться, як многочлен горнеться до кривої всередині радіуса і відлітає зовні.
Рівняння модуля
Рівняння
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
залишок ~ |x − a|^{n+1} поблизу центра
радіус збіжності = відстань до найближчої особливої точки на комплексній площині
1/(1 + 25x²): полюси в ±i/5, R = 0.2 навколо 0
де більше членів допомагає (tail1303): найширший інтервал навколо a, на якому |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, якщо рухатися назовні, причому рівність або залишок менший за 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|) вважається допомогою
1/(1 + 25x²) навколо 0: ±0.2 = R при n = 12 і при n = 24; навколо 0.4: [0.144, 1.56] при n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 при n = 30 - допомагати зараз не означає збігатися
