Math
Hasta dónde llega un polinomio de Taylor
Cerca de su centro un polinomio de Taylor es indistinguible de la función, y cada término de más compensa. Lejos fallan tres cosas distintas: fuera del radio de convergencia más términos empeoran la respuesta sin límite, exp(−1/x²) tiene una serie que converge en todas partes y acierta en un solo punto, y aun dentro del radio la suma puede perder todos los dígitos. El radio es la distancia a una singularidad que no está en la recta real.
Qué ocurre
Un polinomio de Taylor es lo mejor que las derivadas de una función en un punto pueden decir de ella en cualquier otro. Cerca del punto la afirmación es fuerte, el error cae como una potencia de la distancia, una más con cada grado, y el zoom lo muestra: cada término nuevo endereza el ajuste en una ventana más ancha. Lejos del punto la afirmación puede fallar por completo. 1/(1 + 25x²) es suave en toda la recta real y su serie en 0 muere más allá de |x| = 0,2, porque la función tiene polos en ±i/5 que la recta real nunca ve. Añade términos, amplía y mira el polinomio abrazar la curva dentro del radio y escaparse fuera.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
resto ~ |x − a|^{n+1} cerca del centro
radio de convergencia = distancia a la singularidad más cercana en el plano complejo
1/(1 + 25x²): polos en ±i/5, R = 0.2 alrededor de 0
dónde ayudan más términos (tail1303): el intervalo más ancho alrededor de a en el que |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, recorrido hacia fuera, contando como ayuda un empate o un resto menor que 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|)
1/(1 + 25x²) alrededor de 0: ±0.2 = R en n = 12 y en n = 24; alrededor de 0.4: [0.144, 1.56] en n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 en n = 30 - ayudar ahora no es converger
