Math
Jak daleko sięga wielomian Taylora
Blisko swojego środka wielomian Taylora jest nie do odróżnienia od funkcji, a każdy dodatkowy wyraz się opłaca. Dalej psują się trzy różne rzeczy: poza promieniem zbieżności więcej wyrazów pogarsza odpowiedź bez ograniczeń, exp(−1/x²) ma szereg zbieżny wszędzie i trafny w jednym punkcie, a nawet wewnątrz promienia sumowanie może zgubić wszystkie cyfry. Promień to odległość do osobliwości, której nie ma na osi rzeczywistej.
Co się dzieje
Wielomian Taylora to najlepsze, co pochodne funkcji w jednym punkcie mogą powiedzieć o niej gdzie indziej. Blisko punktu stwierdzenie jest mocne - błąd maleje jak potęga odległości, o jeden wyżej z każdym stopniem - i zoom to pokazuje: każdy nowy wyraz prostuje dopasowanie w szerszym oknie. Daleko od punktu stwierdzenie może zawieść zupełnie. 1/(1 + 25x²) jest gładka na całej prostej rzeczywistej, a jej szereg wokół 0 umiera za |x| = 0,2, bo funkcja ma bieguny w ±i/5, których prosta rzeczywista nigdy nie widzi. Dodawaj wyrazy, powiększaj i patrz, jak wielomian tuli się do krzywej wewnątrz promienia i odlatuje na zewnątrz.
Równania modułu
Równania
T_n(x) = Σ_{k≤n} f^(k)(a)(x − a)^k/k!
reszta ~ |x − a|^{n+1} w pobliżu środka
promień zbieżności = odległość do najbliższej osobliwości na płaszczyźnie zespolonej
1/(1 + 25x²): bieguny w ±i/5, R = 0.2 wokół 0
gdzie więcej wyrazów pomaga (tail1303): najszerszy przedział wokół a, na którym |f − P_n| ≤ |f − P_(n−2)|, sprawdzany od środka na zewnątrz, przy czym remis albo reszta poniżej 4ε(|f| + Σ|c_k (x − a)^k|) liczy się jako pomoc
1/(1 + 25x²) wokół 0: ±0.2 = R dla n = 12 i dla n = 24; wokół 0.4: [0.144, 1.56] dla n = 12, [−0.044, 0.844] ≈ a ± R = 0.4 ± 0.447 dla n = 30 - pomaganie teraz nie oznacza zbieżności
