Math

Cuánto sitio ocupa una celda

Cambia de variables en una integral y aparece un factor. Es el determinante de la derivada de la aplicación: la razón entre el área de una celda diminuta y la de su imagen, medida aquí sobre los propios polígonos. El signo es una orientación y no parte del factor, un determinante nulo significa un borde colapsado, y la integral de |det J| es el área de la imagen sólo si la cubre una vez.

Por Mykhailo Makarov

Imagen real de la aplicación

Qué ocurre

Cambia de variables en una integral doble y aparece un factor: la r de las coordenadas polares. No es una convención: es el área de la celdilla en que el mapa convierte una celda unidad, y este módulo la mide. Una malla del plano origen se empuja a través del mapa; cada celda cae como un pequeño cuadrilátero cuya área, dividida por la de la celda, converge al determinante jacobiano: exacto para un mapa afín, a primer orden para los demás. Donde el mapa se pliega, el factor pasa por cero y las celdas se dan la vuelta. Prueba los mapas, encoge la celda y compara el factor medido con det J en el panel.

Ecuaciones del módulo

Ecuaciones
∫∫ f dx dy = ∫∫ f(F(u,v)) |det J| du dv
J = [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]]
medido: área con signo de la imagen de una celda / h² → det J
polar: det J = r;  un pliegue: det J = 0 a lo largo del doblez

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Cotas en lugar de estimaciones

Cualquier otra forma de calcular da un número que probablemente sea correcto. La aritmética de intervalos da un par que lo es con certeza, y todo el tema es cuánto cuesta eso. Se llama dependencia: cada aparición de una variable cuenta como otra variable, así que x − x sale con anchura dos. La inclusión es propiedad de la FÓRMULA, no de la función.

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Cortar una superficie

Corta una superficie con un plano vertical y obtienes una curva; su pendiente es la derivada en esa dirección. Traza la pendiente en coordenadas polares: en una superficie diferenciable eso es exactamente una circunferencia con el gradiente como diámetro. Y una superficie de aquí tiene ambas derivadas parciales, derivada direccional en toda dirección, y ningún plano tangente.

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Hasta dónde llega un polinomio de Taylor

Cerca de su centro un polinomio de Taylor es indistinguible de la función, y cada término de más compensa. Lejos fallan tres cosas distintas: fuera del radio de convergencia más términos empeoran la respuesta sin límite, exp(−1/x²) tiene una serie que converge en todas partes y acierta en un solo punto, y aun dentro del radio la suma puede perder todos los dígitos. El radio es la distancia a una singularidad que no está en la recta real.