Math
Скільки місця займає клітинка
Заміни змінні в інтегралі — з'явиться множник. Це визначник похідної відображення: відношення площі крихітної клітинки до площі її образу, виміряне тут на самих многокутниках. Знак є орієнтацією, а не частиною множника, нульовий визначник означає схлопнуте ребро, а інтеграл |det J| дорівнює площі образу лише за однократного покриття.
Що відбувається
Змініть змінні в подвійному інтегралі — з’явиться множник, те саме r полярних координат. Це не домовленість: це площа маленької клітинки, на яку відображення перетворює одиничну, і модуль її вимірює. Сітка у вихідній площині проштовхується крізь відображення; кожна клітинка сідає маленьким чотирикутником, площа якого, поділена на площу клітинки, збігається до визначника Якобі — точно для афінного відображення, у першому порядку для інших. Там, де відображення згинається, множник проходить через нуль, і клітинки перевертаються. Спробуйте відображення, зменшуйте клітинку і порівняйте виміряний множник із det J на панелі.
Рівняння модуля
Рівняння ∫∫ f dx dy = ∫∫ f(F(u,v)) |det J| du dv J = [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]] виміряно: площа зі знаком образу клітинки / h² → det J полярні: det J = r; складка: det J = 0 уздовж згину
