Math
La place que prend une cellule
Change de variables dans une intégrale et un facteur apparaît. C'est le déterminant de la dérivée de l'application : le rapport entre l'aire d'une cellule minuscule et celle de son image, mesuré ici sur les polygones eux-mêmes. Le signe est une orientation et non une part du facteur, un déterminant nul signifie un bord effondré, et l'intégrale de |det J| n'est l'aire de l'image que si le recouvrement est simple.
Ce qui se passe
Changez de variables dans une intégrale double et un facteur apparaît - le r des coordonnées polaires. Ce n'est pas une convention : c'est l'aire de la petite cellule que l'application fabrique à partir d'une cellule unité, et ce module la mesure. Une grille du plan source est poussée à travers l'application ; chaque cellule retombe en petit quadrilatère dont l'aire, divisée par celle de la cellule, converge vers le déterminant jacobien - exactement pour une application affine, au premier ordre pour les autres. Là où l'application se plie, le facteur passe par zéro et les cellules se retournent. Essayez les applications, réduisez la cellule et comparez le facteur mesuré à det J sur le panneau.
Équations du module
Équations ∫∫ f dx dy = ∫∫ f(F(u,v)) |det J| du dv J = [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]] mesuré : aire algébrique de l'image d'une cellule / h² → det J polaire : det J = r ; un pli : det J = 0 le long de la ligne de pliure
