Math

Wie viel Platz eine Zelle braucht

Wechsle die Variablen in einem Integral und ein Faktor erscheint. Er ist die Determinante der Ableitung der Abbildung - das Verhältnis der Fläche einer winzigen Zelle zu der ihres Bildes, hier an den Polygonen selbst gemessen. Das Vorzeichen ist eine Orientierung und nicht Teil des Faktors, eine verschwindende Determinante bedeutet eine kollabierte Kante, und das Integral von |det J| ist die Fläche des Bildes nur bei einfacher Überdeckung.

Von Mykhailo Makarov

Bild aus der Anwendung

Was passiert

Wechsle die Variablen in einem Doppelintegral, und ein Faktor erscheint - das r der Polarkoordinaten. Es ist keine Konvention: es ist die Fläche der kleinen Zelle, die die Abbildung aus einer Einheitszelle macht, und dieses Modul misst sie. Ein Gitter in der Quellebene wird durch die Abbildung geschoben; jede Zelle landet als kleines Viereck, dessen Fläche, geteilt durch die der Zelle, gegen die Jacobi-Determinante konvergiert - exakt für eine affine Abbildung, in erster Ordnung für die anderen. Wo die Abbildung faltet, geht der Faktor durch null und die Zellen klappen um. Probiere die Abbildungen, verkleinere die Zelle und vergleiche den gemessenen Faktor mit det J auf dem Panel.

Gleichungen des Moduls

Gleichungen
∫∫ f dx dy = ∫∫ f(F(u,v)) |det J| du dv
J = [[∂x/∂u, ∂x/∂v], [∂y/∂u, ∂y/∂v]]
gemessen: vorzeichenbehaftete Fläche des Bildes einer Zelle / h² → det J
polar: det J = r;  eine Falte: det J = 0 entlang des Knicks

Weitere Experimente

Zum Katalog

Math

Schranken statt Schätzungen

Jede andere Rechenart liefert eine Zahl, die wahrscheinlich stimmt. Intervallarithmetik liefert ein Paar, das sicher stimmt, und das ganze Thema ist der Preis dafür. Er heißt Abhängigkeit: jedes Vorkommen einer Variablen gilt als eigene Variable, also wird x − x zwei Einheiten breit. Die Einschließung gehört damit der FORMEL und nicht der Funktion.

Math

Eine Fläche zerschneiden

Schneide eine Fläche mit einer senkrechten Ebene und du bekommst eine Kurve; ihre Steigung ist die Ableitung in dieser Richtung. Trage die Steigung in Polarkoordinaten auf: bei einer differenzierbaren Fläche ist das genau ein Kreis mit dem Gradienten als Durchmesser. Und eine Fläche hier hat beide partiellen Ableitungen, in jeder Richtung eine Richtungsableitung - und gar keine Tangentialebene.

Math

Wie weit ein Taylorpolynom reicht

Nahe seinem Mittelpunkt ist ein Taylorpolynom von der Funktion nicht zu unterscheiden, und jeder weitere Term zahlt sich aus. Weiter draußen geht dreierlei schief: außerhalb des Konvergenzradius machen mehr Terme die Antwort unbegrenzt schlechter, exp(−1/x²) hat eine Reihe, die überall konvergiert und nur an einem Punkt stimmt, und selbst innerhalb des Radius kann das Summieren jede Stelle verlieren. Der Radius ist der Abstand zu einer Singularität, die gar nicht auf der reellen Achse liegt.