Math
Eine Fläche zerschneiden
Schneide eine Fläche mit einer senkrechten Ebene und du bekommst eine Kurve; ihre Steigung ist die Ableitung in dieser Richtung. Trage die Steigung in Polarkoordinaten auf: bei einer differenzierbaren Fläche ist das genau ein Kreis mit dem Gradienten als Durchmesser. Und eine Fläche hier hat beide partiellen Ableitungen, in jeder Richtung eine Richtungsableitung - und gar keine Tangentialebene.
Was passiert
Halte y fest, gehe entlang x, und eine Fläche wird zur Kurve mit gewöhnlicher Steigung: das ist eine partielle Ableitung, und es gibt eine für jede Richtung, in die du dich nicht bewegst. Gehe in eine andere Richtung, und die Steigung ist die Richtungsableitung; auf einer glatten Fläche ist sie der Gradient mal Richtung - aber die Formel trägt zwei Bedingungen. Die Richtung muss ein Einheitsvektor sein, und die Fläche muss differenzierbar sein, was mehr ist als partielle Ableitungen zu haben: ein Kegel hat an seiner Spitze in jeder Richtung eine Richtungsableitung, und die Formel ist für alle bis auf zwei falsch. Drehe die Richtung, sieh den Schnitt und seine Steigung, dann probiere den Kegel.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen f_x, f_y: Steigungen der beiden achsenparallelen Schnitte D_u f = lim (f(p + tu) − f(p))/t entlang des Einheitsvektors u D_u f = ∇f · u - nur für den Einheitsvektor u und nur dort, wo f differenzierbar ist der Kegel f = xy/√(x² + y²): jedes D_u existiert bei 0, die Formel versagt
