Math
Przekrój powierzchni
Przetnij powierzchnię pionową płaszczyzną, a dostaniesz krzywą; jej nachylenie to pochodna w tym kierunku. Odłóż nachylenie we współrzędnych biegunowych: dla powierzchni różniczkowalnej jest to dokładnie okrąg, którego średnicą jest gradient. A jedna powierzchnia tutaj ma obie pochodne cząstkowe, pochodną kierunkową w każdym kierunku i żadnej płaszczyzny stycznej.
Co się dzieje
Trzymaj y w miejscu, idź wzdłuż x, a powierzchnia staje się krzywą ze zwykłym nachyleniem: to pochodna cząstkowa i jest po jednej na każdy kierunek, w którym odmawiasz ruchu. Idź w dowolnym innym kierunku, a nachylenie to pochodna kierunkowa; na gładkiej powierzchni to gradient pomnożony przez kierunek - ale wzór niesie dwa warunki. Kierunek musi być wektorem jednostkowym, a powierzchnia różniczkowalna, co znaczy więcej niż istnienie pochodnych cząstkowych: stożek ma pochodną kierunkową w każdym kierunku w wierzchołku, a wzór myli się we wszystkich prócz dwóch. Obracaj kierunek, patrz na przekrój i jego nachylenie, potem wypróbuj stożek.
Równania modułu
Równania f_x, f_y: nachylenia dwóch przekrojów równoległych do osi D_u f = lim (f(p + tu) − f(p))/t wzdłuż jednostkowego u D_u f = ∇f · u - tylko dla jednostkowego u i tylko tam, gdzie f jest różniczkowalna stożek f = xy/√(x² + y²): każda D_u istnieje w 0, wzór zawodzi
