Math
Tagliare una superficie
Taglia una superficie con un piano verticale e ottieni una curva; la sua pendenza è la derivata in quella direzione. Riporta la pendenza in coordinate polari: per una superficie differenziabile è esattamente una circonferenza con il gradiente per diametro. E una superficie qui ha entrambe le derivate parziali, la derivata direzionale in ogni direzione, e nessun piano tangente.
Cosa succede
Tieni fermo y, cammina lungo x, e una superficie diventa una curva con una pendenza ordinaria: questa è una derivata parziale, e ce n'è una per ogni direzione in cui ti rifiuti di muoverti. Cammina in qualsiasi altra direzione e la pendenza è la derivata direzionale; su una superficie liscia è il gradiente per la direzione - ma la formula porta due condizioni. La direzione deve essere un versore, e la superficie deve essere differenziabile, che è più che avere le parziali: un cono ha una derivata direzionale in ogni direzione nel vertice e la formula è sbagliata per tutte tranne due. Gira la direzione, guarda la sezione e la sua pendenza, poi prova il cono.
Equazioni del modulo
Equazioni f_x, f_y: pendenze delle due sezioni allineate agli assi D_u f = lim (f(p + tu) − f(p))/t lungo u unitario D_u f = ∇f · u - solo per u unitario e solo dove f è differenziabile il cono f = xy/√(x² + y²): ogni D_u esiste in 0, la formula fallisce
