Math
Разрежь поверхность
Разрежь поверхность вертикальной плоскостью — получишь кривую, и её наклон есть производная в этом направлении. Поворачивай плоскость, следя за наклоном, а потом отложи его в полярных координатах: у дифференцируемой поверхности это ровно окружность с градиентом в качестве диаметра, и «градиент показывает вверх» перестаёт быть утверждением и становится картинкой. А одна поверхность здесь имеет обе частные производные, направленную производную по каждому направлению — и никакой касательной плоскости: формула ∇f·u предсказывает ноль, пока поверхность поднимается со скоростью 0,385.
Что происходит
Держите y на месте, идите вдоль x — поверхность становится кривой с обычным наклоном: это частная производная, и есть по одной на каждое направление, в котором вы отказываетесь двигаться. Идите в любом другом направлении — наклон будет производной по направлению; на гладкой поверхности это градиент, умноженный на направление, но у формулы два условия. Направление должно быть единичным вектором, а поверхность — дифференцируемой, что больше, чем наличие частных: у конуса в вершине есть производная по любому направлению, а формула неверна для всех, кроме двух. Поворачивайте направление, смотрите на сечение и его наклон, потом попробуйте конус.
Уравнения модуля
Уравнения f_x, f_y: наклоны двух сечений, параллельных осям D_u f = lim (f(p + tu) − f(p))/t вдоль единичного u D_u f = ∇f · u - только для единичного u и только там, где f дифференцируема конус f = xy/√(x² + y²): каждая D_u существует в 0, формула не работает
